Để tính diện tích của tam giác \( \triangle ABC \) với các thông số đã cho, ta cần áp dụng công thức:

\[
S = \frac{1}{2} \times a \times b \times \sin(C)
\]

Trong đó:
- \( S \) là diện tích tam giác.
- \( a \) và \( b \) là độ dài của hai cạnh bất kỳ.
- \( C \) là góc nằm giữa hai cạnh đó.

### Bước 1: Tính góc còn lại
Ta có:
- \( A = 180° - B - C = 180° - 60° - 50° = 70° \)

### Bước 2: Tính chiều dài của cạnh \( AB \) và \( BC \)
Sử dụng định lý Sin:

\[
\frac{AC}{\sin(B)} = \frac{AB}{\sin(C)} = \frac{BC}{\sin(A)}
\]

Với \( AC = 35 \, cm \):

\[
\frac{35}{\sin(60°)} = \frac{AB}{\sin(50°)} \implies AB = 35 \cdot \frac{\sin(50°)}{\sin(60°)}
\]

\[
\frac{35}{\sin(60°)} = \frac{BC}{\sin(70°)} \implies BC = 35 \cdot \frac{\sin(70°)}{\sin(60°)}
\]

### Bước 3: Tính diện tích
Ta có thể lấy \( AC \) làm chiều cao và chiều dài của cạnh \( AB \) làm đáy.

Sau khi tính được \( AB \) từ bước 2, ta áp dụng vào công thức tính diện tích.

Kết quả sẽ là:

\[
S = \frac{1}{2} \times AC \times AB \times \sin(70°)
\]

### Tính toán

1. Tính các giá trị sin:
- \( \sin(60°) \approx 0.866 \)
- \( \sin(50°) \approx 0.766 \)
- \( \sin(70°) \approx 0.940 \)

2. Tính các cạnh:
- \( AB = 35 \cdot \frac{0.766}{0.866} \approx 30.8 \, cm \)
- \( BC = 35 \cdot \frac{0.940}{0.866} \approx 38.4 \, cm \)

3. Tính diện tích:
\[
S = \frac{1}{2} \times 35 \times 30.8 \times \sin(70°) \approx \frac{1}{2} \times 35 \times 30.8 \times 0.940 \approx 510.5 \, cm^2
\]

### Kết luận
Diện tích của tam giác \( \triangle ABC \) là khoảng \( 510.5 \, cm^2 \).