Tính giá trị nhỏ nhất của P = x^3/(x^2+xy+y^2) + y^3/(y^2+yz+z^2) + z^3/(z^2+zx+x^2)

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\[
P = \frac{x^3}{x^2 + xy + y^2} + \frac{y^3}{y^2 + yz + z^2} + \frac{z^3}{z^2 + zx + x^2}
\]

cho \( x, y, z \) là các số thực dương và thỏa mãn \( x + y + z = 2024 \), chúng ta có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho từng phân thức:

\[
\frac{x^3}{x^2 + xy + y^2} \geq \frac{x^3}{\frac{(x+y)^2}{2}} = \frac{2x^3}{(x+y)^2}
\]

Tương tự cho các phần còn lại:

\[
\frac{y^3}{y^2 + yz + z^2} \geq \frac{2y^3}{(y+z)^2}
\]

\[
\frac{z^3}{z^2 + zx + x^2} \geq \frac{2z^3}{(z+x)^2}
\]

Do đó, ta có:

\[
P \geq \frac{2x^3}{(x+y)^2} + \frac{2y^3}{(y+z)^2} + \frac{2z^3}{(z+x)^2}
\]

Tiếp theo, ta sẽ xem xét trường hợp \( x = y = z \) nhằm tìm giá trị nhỏ nhất có thể.

Giả sử \( x = y = z = \frac{2024}{3} \). Thay vào đó:

\[
P = 3 \cdot \frac{\left(\frac{2024}{3}\right)^3}{\left(\frac{2024}{3}\right)^2 + \left(\frac{2024}{3}\right) \left(\frac{2024}{3}\right) + \left(\frac{2024}{3}\right)^2}
\]

Tính giá trị của mẫu số:

\[
\left(\frac{2024}{3}\right)^2 + \left(\frac{2024}{3}\right) \left(\frac{2024}{3}\right) + \left(\frac{2024}{3}\right)^2 = 3 \left(\frac{2024}{3}\right)^2 = \frac{3 \cdot 2024^2}{9} = \frac{2024^2}{3}
\]

Vậy:

\[
P = 3 \cdot \frac{\left(\frac{2024}{3}\right)^3}{\frac{2024^2}{3}} = 3 \cdot \frac{2024^3 / 27}{2024^2 / 3} = 3 \cdot \frac{2024^3}{27} \cdot \frac{3}{2024^2} = 3 \cdot \frac{2024}{27} = \frac{6060}{27} \approx 224.444
\]

Vì thế, ta có:

\[
\text{Giá trị nhỏ nhất của } P \text{ là } \boxed{224}.
\]