Để chứng minh rằng cung AC và cung BD bằng nhau, ta có thể thực hiện các bước sau:

### a) Chứng minh rằng cung AC và cung BD bằng nhau:

1. **Hình lục giác đều**: Gọi O là tâm của đường tròn. Hình lục giác đều ABCDEF có các đỉnh đều cách nhau và nằm trên đường tròn. Điều này có nghĩa là các đỉnh cách tâm O một khoảng bằng bán kính (5 cm).

2. **Chia đều**: Trong một hình lục giác đều, mỗi cung từ một đỉnh đến một đỉnh không kế tiếp sẽ có cùng số đo. Cụ thể, cung AC hợp với tâm O một góc bằng 2 lần góc phần tư tập trung tại O. Tương tự, cung BD cũng hợp với O một góc có cùng số đo.

3. **Tính toán góc**: Ta tính góc ở tâm O cho các đỉnh:
- Góc AOB = 60 độ (vì 360 độ / 6 đỉnh)
- Góc AOC = 120 độ (2 * 60 độ)
- Góc BOD = 120 độ (2 * 60 độ)

Vậy có:
\[
\text{Độ dài cung AC} = R \cdot \text{góc AOC} = 5 \cdot \frac{2\pi}{3}
\]
\[
\text{Độ dài cung BD} = R \cdot \text{góc BOD} = 5 \cdot \frac{2\pi}{3}
\]

4. **Kết luận**: Vì độ dài cung AC và BD đều giống nhau, nên cung AC bằng cung BD.

### b) Tính diện tích hình quạt tròn tạo bởi cung BD và diện tích phần viên tạo bởi cung AC và dây AC:

1. **Diện tích hình quạt tròn**: Diện tích hình quạt tròn tạo bởi cung BD được tính bằng công thức:
\[
S_{quạt} = \frac{1}{2} R^2 \theta
\]
với \(\theta\) bằng góc quạt (đã tính ở trên là 120 độ = \(\frac{2\pi}{3}\) rad).

Vậy:
\[
S_{quạt} = \frac{1}{2} \cdot 5^2 \cdot \frac{2\pi}{3} = \frac{25\pi}{3}
\]

2. **Diện tích phần viên**: Diện tích phần viên tạo bởi cung AC và dây AC là diện tích hình quạt tròn tạo bởi cung AC trừ đi diện tích tam giác AOC.

- Diện tích tam giác AOC:
\[
S_{tam giác} = \frac{1}{2} a b \sin C
\]
với \(a = b = 5\), \(C = 120^{\circ}\):
\[
S_{tam giác} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5 \cdot \sin(120^{\circ}) = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{25\sqrt{3}}{4}
\]

3. **Tổng hợp lại**:
- Diện tích phần viên = Diện tích quạt AC - Diện tích tam giác AOC:
\[
S_{phần viên} = \frac{25\pi}{3} - \frac{25\sqrt{3}}{4}
\]

Với các bước trên, ta đã hoàn thành bài toán yêu cầu.