Tính nhanh các tổng sau

Chúng ta sẽ tính nhanh các tổng sau:

### a. Tính tổng A = 1 \* 2 + 2 \* 3 + 3 \* 4 + ... + 500 \* 501

Ta nhận thấy rằng:

\[ n(n + 1) = n^2 + n \]

Vì vậy, tổng \( A \) có thể viết lại như sau:

\[ A = \sum_{n=1}^{500} n(n + 1) = \sum_{n=1}^{500} (n^2 + n) \]

Chia thành hai phần:

\[
A = \sum_{n=1}^{500} n^2 + \sum_{n=1}^{500} n
\]

Biết rằng công thức tổng các số tự nhiên là:

\[
\sum_{n=1}^{N} n = \frac{N(N + 1)}{2}
\]

và công thức tổng bình phương:

\[
\sum_{n=1}^{N} n^2 = \frac{N(N + 1)(2N + 1)}{6}
\]

Áp dụng vào \( N = 500 \):

1. Tính \(\sum_{n=1}^{500} n\):

\[
\sum_{n=1}^{500} n = \frac{500 \cdot 501}{2} = 125250
\]

2. Tính \(\sum_{n=1}^{500} n^2\):

\[
\sum_{n=1}^{500} n^2 = \frac{500 \cdot 501 \cdot 1001}{6}
\]

Tính giá trị này:

\[
500 \cdot 501 = 250500
\]
\[
250500 \cdot 1001 = 250500250
\]
Chia cho 6:

\[
\sum_{n=1}^{500} n^2 = \frac{250500250}{6} = 41750041.67 \text{ (làm tròn)} = 41708333
\]

Cuối cùng, tổng:

\[
A = 41708333 + 125250 = 41720883
\]

### b. Tính tổng B = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot ... \cdot 999 \cdot 1000

Tổng B là một chuỗi nhân các số lẻ và chẵn liên tiếp. Chúng ta có thể tách riêng các nhóm như sau:

\[
B = (1 \cdot 2) \cdot (3 \cdot 4) \cdot (5 \cdot 6) \cdots (999 \cdot 1000)
\]

Mỗi cặp có thể viết dưới dạng:

\[
n(n+1) = 2 \cdot (1 \cdot 2) \cdot (3 \cdot 4) \cdots (999 \cdot 1000) = 2^{500} \cdot (500!)
\]

Do đó, ta có:

\[
B = 500! \cdot 2^{500}
\]

Vậy tổng \( B \) có thể được biểu diễn dưới dạng:

\[
B = 2^{500} \cdot 500!
\]

### Kết quả cuối cùng:

- \( A = 41720883 \)
- \( B = 500! \cdot 2^{500} \)