a) Xét tứ giác AIMK  có:

 AIM^= 90° (MI ⊥ AB); AKM^  = 90° (MK ⊥ AC)

⇒ AIM^+AKM^  = 90° + 90° = 180°

Mà 2 góc ở vị trí đối nhau

⇒ Tứ giác AIMK nội tiếp

Xét (O) có AB, AC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại A

⇒ OB ⊥ AB; OC ⊥ AC ⇒ABO^=ACO^ = 90°

Xét tứ giác ABOC có: 

 ABO^+ACO^= 90° + 90° = 180°

Mà 2 góc ở vị trí đối nhau

⇒ Tứ giác ABOC nội tiếp

b) Xét tứ giác MPCK có:

 MPC^ = 90° (MP ⊥ BC); MKC^= 90° (MK ⊥ AC)

⇒ MPC^+MKC^ = 90° + 90° = 180°

Mà 2 góc ở vị trí đối nhau

⇒ Tứ giác MPCK nội tiếp

⇒ MPK^=MCK^ (cùng nhìn cạnh MK)

Xét (O) có: MCK^   là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung MC

 MBC^ là góc nội tiếp chắn cung MC

⇒ MCK^=MBC^

Mà MPK^=MCK^ ⇒ MPK^=MBC^

c) Xét tứ giác MIBP có:

MIB^= 90° (MI ⊥ AB) ; MPB^  = 90°(MP⊥BC)

⇒ MIB^+MPB^ = 90° + 90° = 180°

mà 2 góc ở vị trí đối nhau

⇒Ttứ giác MIBP nội tiếp

⇒ IBM^=IPM^ (cùng nhìn cạnh MI)

MIP^=MBP^ (cùng nhìn cạnh MP) hay MBC^=MIP^

mà MPK^=MBC^  ⇒ MPK^=MIP^

Xét (O) có: IBM^  là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung BM

 MCB^ là góc nội tiếp chắn cung BM

⇒ IBM^=MCB^

mà  IBM^=IPM^ ⇒ MCB^=IPM^ hay  MCP^=IPM^

Tứ giác MPCK nội tiếp ⇒ MCP^=MKP^

⇒ IPM^=MKP^

Xét ΔMIP và ΔMPK có:

IPM^=MKP^

MIP^=MPK^

⇒ ΔMIP ~ ΔMPK (g.g)

⇒ MI.MP = MP.MK ⇒ MI.MK = MP²

d) Vì MI.MK = MP² nên MI.MK.MP = MP³

Tích MI.MK.MP đạt giá trị lớn nhất khi MP lớn nhất

Gọi H là hình chiếu của O trên BC

⇒ OH cố định (Vì O cố định; BC cố định)

Gọi D là giao điểm của MO và BC

Ta có: MP ≤ MD; OH ≤ OD

MP + OH ≤ MD + OD = MO ⇒ MP + OH ≤ R

⇒MP ≤ R−OH ⇒ MP³ ≤ (R − OH)³

Dấu "=" xảy ra khi MP = R − OH

⇒ O, H, Mthẳng hàng 

⇒ M nằm chính giữa  cung nhỏ BC

Vậy tích MI.MK.MP đạt giá trị lớn nhất khi M nằm chính giữa cung nhỏ BC.