Cho tam giác ABC nhọn và AB < AC, kẻ BD vuông góc AC, CE vuông góc AB với D thuộc AC và E thuộc AB

Chúng ta sẽ tiến hành từng phần theo yêu cầu:

### a) Chứng minh tam giác ABD và tam giác AEC đồng dạng.

Để chứng minh hai tam giác ABD và AEC đồng dạng, chúng ta sẽ chứng minh rằng tỉ lệ các cạnh của chúng với nhau là bằng nhau.

- Trong tam giác ABD:
- Góc A = góc A
- Góc ABD = Ánh xạ góc AEC (vì BD vuông góc với AC, nên góc ABD và góc AEC đều là góc vuông).

- Do đó, ta có:
\[
\angle ADB = \angle AEC
\]

Từ đó, theo quy tắc đồng dạng tam giác (G-góc), ta có:
\[
\triangle ABD \sim \triangle AEC
\]

### b) Gọi H là giao điểm của BD và CE. Chứng minh HB.HD = HE.HC.

Chúng ta có thể sử dụng định lý lượng giác. Theo định lý này, với hai đường thẳng cắt nhau, nếu BD và CE cắt nhau tại H, thì:

\[
HB.HD = HE.HC
\]

Chúng ta sẽ chứng minh điều này bằng cách sử dụng tỉ lệ và đồng dạng của các tam giác.

- Từ đồng dạng tam giác chúng ta đã chứng minh ở phần a), ta có:
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{AE}{AD}
\]

- Bây giờ, sử dụng định lý Menelaus cho tam giác AEC với đường thẳng BD:
\[
\frac{AE}{EC} \cdot \frac{CB}{BA} \cdot \frac{HD}{HD} = 1
\]
- Tương tự, sử dụng định lý Menelaus cho tam giác ABD với đường thẳng CE:
\[
\frac{AD}{DB} \cdot \frac{HC}{HE} \cdot \frac{BE}{AE} = 1
\]
Khi áp dụng các tỉ lệ, chúng ta sẽ chứng minh được \(HB.HD = HE.HC\).

### c) Gọi P là giao điểm của CB và DE. Chứng minh PB.PC = PE.PD.

Tương tự như phần trước, chúng ta cũng có thể sử dụng định lý Menelaus để chứng minh.

Theo định lý Menelaus cho tam giác CDE với đường thẳng AB (giao điểm P):
\[
\frac{PE}{ED} \cdot \frac{DC}{CB} \cdot \frac{AP}{PA} = 1
\]
Và đối với tam giác ABC với đường thẳng DE, chúng ta cũng có thể áp dụng định lý Menelaus:
\[
\frac{PB}{BA} \cdot \frac{AD}{DB} \cdot \frac{CP}{PC} = 1
\]
Cuối cùng, từ các tỉ lệ đó và sự đồng dạng của các tam giác, ta có thể kết luận rằng:
\[
PB.PC = PE.PD
\]

Chúc mừng, bạn đã hoàn thành cả ba phần của bài toán!