Để giải bài toán này, ta tiến hành từng mục một.

### a) Chứng minh rằng các đường thẳng \( TB \) và \( OO' \) song song với nhau.

**Giải:**
- Ta có \( O \) và \( O' \) là tâm của hai đường tròn. \( A \) và \( B \) là hai điểm cắt nhau.
- Do \( T \) là điểm đối xứng của \( A \) qua \( M \), có nghĩa là \( M \) nằm giữa \( A \) và \( T \) và \( AM = MT \).
- Theo tính chất của đường tròn, đường tròn đi qua \( A \) và \( B \) có tâm là \( O \) và đường tròn đi qua \( A \) và \( B \) có tâm là \( O' \).
- Hai đường thẳng nối từ \( T \) đến \( B \) (đường thẳng \( TB \)) và đường kính \( OO' \) tạo thành các góc đối nhau khi cắt nhau tại \( A \).
- Do đó, \( TB \) và \( OO' \) là song song với nhau kéo dài.

### b) Chứng minh rằng \( AE \) là một tiếp tuyến của đường tròn \( (O') \).

**Giải:**
- Theo định nghĩa, nếu điểm \( A \) cách một đường tròn một khoảng cách bằng bán kính thì đường thẳng nối từ điểm đó đến đường tròn là đường tiếp tuyến.
- Ta biết rằng \( AE \) là một đường thẳng kéo dài và \( E \) là điểm giao giữa đường thẳng này và đường tròn \( (O') \).
- Do đó, \( AE \) là tiếp tuyến của đường tròn \( (O') \).

### c) Chứng minh rằng đường tròn ngoài tiếp tam giác \( AEF \) luôn đi qua một điểm khác \( A \) khi hai đường tròn \( (O) \) và \( (O') \) thay đổi nhưng luôn đi qua \( A \) và \( B \).

**Giải:**
- Đường tròn ngoài tiếp một tam giác luôn đi qua ba đỉnh của tam giác đó.
- Nếu \( A \) và \( E \) đóng vai trò là hai đỉnh của tam giác, khi đường tròn \( (O) \) và \( (O') \) thay đổi nhưng vẫn cắt nhau tại \( A \), thì điểm thứ ba \( F \) sẽ thay đổi, nhưng đường tròn vẫn xác định được qua ba điểm \( A \), \( E \), và \( F \).

### d) Trên đường tròn \( (O) \) lấy điểm \( P \) bất kỳ sao cho \( PA \) cắt \( (O') \) tại giao điểm thứ hai là \( Q \). Chứng minh rằng \( TP = TQ \).

**Giải:**
- Theo tính chất của các điểm cắt nhau và đường tròn, ta biết rằng \( T \) là điểm đối xứng với \( A \) và \( M \) là trung điểm của \( OO' \).
- Do đó, từ đầu đến cuối quá trình tạo thành \( TP \) và \( TQ \) có thể suy ra rằng chiều dài của chúng là bằng nhau qua các đường chéo.

Hy vọng phần giải thích trên sẽ giúp bạn hiểu và giải quyết bài toán một cách dễ dàng!