Ta có un+1=un+n3⇒un+1−un=n3.  Từ đó suy ra

u1=1;u2−u1=13;u3−u2=23;...un−1−un−2=n−23;un−un−1=n−13.

Cộng từng vế các đẳng thức trên ta được

u1+u2−u1+u1−u2+...+un−1−un−2+un−un−1=1+13+23+33+...+n−23+n−13⇔un=1+13+23+33+...+n−23+n−13

Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được

13+23+33+...+n−13=n−12.n24