Gọi E là trung điểm của AG

Þ \[EA = EG = \frac{1}{2}AG\]

Từ E và M kẻ 2 đường thẳng song song với AA’ và cắt đường thẳng d lần lượt tại K và H.

Mà AA’ ^ d Þ EK ^ d và MH ^ d

G là trọng tâm ΔABC, AM là trung tuyến

\[MG = \frac{1}{2}AG\] (tính chất trọng tâm trong tam giác)

Xét ΔEKG và ΔMHG có:

\[\widehat {EKG} = \widehat {MHG} = 90^\circ \]

\[\widehat {EGK} = \widehat {MGH}\] (vì hai góc đối đỉnh)

\[EG = MG = \frac{1}{2}AG\]

Þ ΔEKG = ΔMHG (cạnh huyền – góc nhọn)

Þ EK = MH

Xét ΔAA'G:

E là trung điểm AG;

EK // AA'

Þ K là trung điểm A'G (tính chất đường trung bình trong tam giác)

Hay EK là đường trung bình của ΔAA'G nên \[EK = \frac{1}{2}AA'\]

\[ \Rightarrow MH = EK = \frac{1}{2}AA'\,\,\,(1)\]

Xét hình thang BB'C'C:

M là trung điểm BC

MH // BB' // CC' 

Þ MH là đường trung bình hình thang BB'C'C

\[ \Rightarrow MH = \frac{1}{2}(BB' + CC')\,\,\,(2)\]

Từ (1) và (2) ta có: AA' = BB' + CC' (đpcm)

Vậy AA' = BB' + CC'.