Phương pháp:

a) Một đường thẳng song song với một mặt phẳng khi nó song song với một đường nằm trong mặt phẳng đó.

b) Xác định điểm chung của SD với \[\left( {BEF} \right),\] từ đó xác định thiết diện.

c) Xác định \[\left( \alpha \right).\] Sử dụng định lí Ta-lét.

Cách giải:

a) Áp dụng định lí Ta-lét đảo ta có \[\frac = \frac = \frac{2}{3} \Rightarrow EF{\rm{ // }}AC.\]

Mà \[EF \subset \left( {BEF} \right) \Rightarrow AC{\rm{ // }}\left( {BEF} \right).\]

b) Trong \[\left( {SAC} \right)\] gọi

\[I = SO \cap EF \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}I \in EF \Rightarrow I \in \left( {BEF} \right) \Rightarrow BI \subset \left( {BEF} \right)\\I \in SO \subset \left( {SBD} \right) \Rightarrow I \in \left( {SBD} \right)\end{array} \right..\]

Trong \[\left( {SBD} \right)\] gọi \[N = BI \cap SD\] ta có:

\[\left\{ \begin{array}{l}N \in SD\\N \in BI \subset \left( {BEF} \right)\end{array} \right. \Rightarrow N = SD \cap \left( {BEF} \right).\]

Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}\left( {BEF} \right) \cap \left( {SAB} \right) = BE\\\left( {BEF} \right) \cap \left( {SAD} \right) = EN\\\left( {BEF} \right) \cap \left( {SCD} \right) = NF\\\left( {BEF} \right) \cap \left( {SBC} \right) = FB\end{array} \right. \Rightarrow \] Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng \[\left( {BEF} \right)\] là tứ giác BENF.

c) Ta có AC qua O và \[AC{\rm{ // }}EF \Rightarrow AC \subset \left( \alpha \right).\]

Trong \[\left( {SAD} \right)\] qua A kẻ \[AP{\rm{ // }}EN\left( {P \in SD} \right) \Rightarrow AP{\rm{ // }}\left( {BEF} \right) \Leftrightarrow AP \subset \left( \alpha \right).\]

Khi đó ta có \[\left( \alpha \right) \equiv \left( {BEF} \right).\]

Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}\left( \alpha \right) \cap \left( {SBD} \right) = OP\\\left( {BEF} \right) \cap \left( {SBD} \right) = BN\\\left( \alpha \right){\rm{ // }}\left( {BEF} \right)\end{array} \right. \Rightarrow OP{\rm{ // }}BN.\]

Áp dụng đinh lí Ta-lét ta có: \[\frac = \frac.\]

Ta có: \[\frac = \frac = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac = \frac{1}{2} \Rightarrow DP = \frac{1}{2}NP.\]

Lại áp dụng định lí Ta-lét ta có: \[\frac = \frac = \frac{2}{3}\left( {AP{\rm{ // }}EN} \right) \Rightarrow \frac = 2 \Rightarrow SN = 2NP.\]

Từ đó ta có \[\frac = \frac = \frac = \frac{{\frac{7}{2}NP}} = \frac{6}{7}.\]

Vậy \[\frac = \frac{6}{7}.\]