Phương pháp:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm a, b ta có: a+b≥2ab

Dấu “=” xảy ra khi a=b .

Sử dụng các hằng đẳng thức: x+y2=x2+2xy+y2, x+y+z2=x2+y2+z2+2xy+xz+yz .

Cách giải:

Cho a, b, c là các số không âm thỏa mãn:

a+b+c=3 và a+2ba+2c+b+2ab+2c+c+2ac+2b=3 .

Tính giá trị của biểu thức M=2a+3b−4c2 .

Theo bất đẳng thức Cô-si ta có: b+c≥2bc, a+c≥2ac, a+b≥2ab

Xét a+2ba+2c=a2+2ac+2ab+4bc=a2+2ab+c+4bc≥a2+2a.2bc+4bc

⇔a+2ba+2c≥a2+4abc+4bc hay a+2ba+2c≥a+2bc2

⇒a+2ba+2c≥a+2bc

Tương tự ta có: b+2ab+2c≥b+2ac

c+2ac+2b≥c+2ab

Suy ra a+2ba+2c+b+2ab+2c+c+2ac+2b≥a+b+c+2ab+ac+bc

Hay 3≥a+b+c2⇔3≥3

Dấu “=” xảy ra ⇔a=b=c=13 .

Thay a=b=c=13  vào biểu thức M ta có:

M=2.13+3.13−4.132=132=13