Trên tia BN lấy điểm E sao cho N là trung điểm của BE

Xét tam giác NBC và tam giác NED có:

BN = EN;

BNC^=DNE^ (hai góc đối đỉnh);

CN = ND (giả thiết)

Suy ra ∆NBC = ∆NED (c.g.c)

Do đó DE = BC (hai cạnh tương ứng) và CBN^=NED^ (hai góc tương ứng)

Mà hai góc CBN^ và NED^ ở vị trí so le trong, suy ra BC // DE

Ta có:MN=BC+AD2⇔MN=DE+AD2

Xét tam giác ABE có M, N là trung điểm của AB, BE

Suy ra MN là đường trung bình của tam giác ABE

Do đó MN // AE và MN=12AE

Mà MN=DE+AD2

Suy ra DE + AD = AE

Do đó A, D, E thẳng hàng

Mà BC // DE, suy ra BD // AD

Hay ABCD là hình thang

Vậy ABCD là hình thang.