Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số x, y, z > 0, ta được: \[x + y + z \ge 3\sqrt[3]\].

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số \(\frac{1}{x};\frac{1}{y};\frac{1}{z} > 0\), ta được:

\[\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{1}}} = \frac{3}{{\sqrt[3]}}\].

Khi đó ta có \(\left( {x + y + z} \right)\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right) \ge 3\sqrt[3].\frac{3}{{\sqrt[3]}} = 9\).

\( \Leftrightarrow \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \ge \frac{9}\).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z.

Vậy ta có điều phải chứng minh.