Sau khoảng thời gian t:

d_M/B = l – v₁ . t

d_B/N = V₂ . t

Áp dụng công thức hàm số côsin

\[{d_{MN}} = \sqrt {{{(l - {v_1}t)}^2} + {{({v_2}t)}^2} - 2.(l - {v_1}t){v_2}t.\cos \alpha } \]

\[ \Rightarrow {d^2} = {l^2} - 2{v_1}.l.t + {v_1}^2.{t^2} + {v_2}^2.{t^2} + 2.{v_1}.{v_2}.{t^2}.\cos \alpha - 2l.{v_2}.t.\cos \alpha \]

\[ \Rightarrow {d^2} = ({v_1}^2 + {v_2}^2 + 2.{v_1}{v_2}\cos \alpha ){t^2} - 2l({v_1} - {v_2}\cos \alpha ).t + {l^2}(1)\]

Nhận xét (l) là một hàm số bậc hai của t.

Do đó: \[{d_{\min }} = \sqrt {\frac{{ - \Delta }}} \]

\[ = \sqrt {\frac{{ = \sqrt {4\left[ {({v_1}^2 + {v_2}^2 + 2.{v_1}{v_2}\cos \alpha ){l^2}} \right]} - 4{l^2}{{({v_1} - {v_2}\cos \alpha )}^2}}}{{\sqrt {({v_1}^2 + {v_2}^2 + 2.{v_1}{v_2}\cos \alpha )} }}} \]

\[ = \frac{{l{v_2}\sin \alpha }}{{{v_1}^2 + {v_2}^2 + 2.{v_1}{v_2}\cos \alpha }}\].

Khi đó \[{t_{\min }} = \frac{{2l({v_1} - {v_2}\cos \alpha )}}{{2({v_1}^2 + {v_2}^2 + 2.{v_1}{v_2}\cos \alpha )}}\]

Vậy \[{d_{\min }} = \frac{{l{v_2}\sin \alpha }}{{{v_1}^2 + {v_2}^2 + 2.{v_1}{v_2}\cos \alpha }}\]; \[{t_{\min }} = \frac{{2l({v_1} - {v_2}\cos \alpha )}}{{2({v_1}^2 + {v_2}^2 + 2.{v_1}{v_2}\cos \alpha )}}\].