LH Quảng cáo: lazijsc@gmail.com

Bài tập  /  Bài đang cần trả lời

Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy, ABCD là hình thoi, góc ABC bằng 60, góc giữa mặt phẳng SBD và ABCD bằng 60°.Khoảng cách từ A đến (SBD) là \[\frac{{a\sqrt 6 }}{4}\]. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy, ABCD là hình thoi, góc ABC bằng 60, góc giữa mặt phẳng SBD và ABCD bằng 60°.Khoảng cách từ A đến (SBD) là \[\frac{{a\sqrt 6 }}{4}\]. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

1 trả lời
Hỏi chi tiết
11
0
0

Gọi O là tâm hình thoi ABCD.

⇒ AC ⊥ BD tại O.

ABCD là hình thoi ⇒ AB = AD = BC

Ta có: SA ⊥ (ABCD) ⇒ \[\widehat {SAB} = \widehat {SAD}\], AB = AD, cạnh SA chung

∆SAB = ∆SAD ⇒ SB = SD ⇒ ∆ SBD cân tại S.

⇒ Trung tuyến SO là đường cao

⇒ SO ⊥ BD

Ta có: (SBD) ∩ (ABCD) = BD; SO ⊥ BD; AO ⊥ BD

⇒ Góc giữa (SBD) và (ABCD) là góc giữa SO và AO, là \[\widehat {SOA}\]

\[ \Rightarrow \widehat {SOA} = {60^{\rm{o}}}\].

Giả sử cạnh hình thoi có độ dài là x.

∆ABC có AB = BC và \[\widehat {ABC} = {60^{\rm{o}}}\]⇒ ∆ABC đều ⇒ AC = x \[ \Rightarrow AO = \frac{x}{2}\]

Xét ∆SAO vuông tại A: \[\tan \widehat {SAO} = \frac\] \[ \Rightarrow SA = AO.\tan \widehat {SAO}\]

\[ \Rightarrow SA = \frac{x}{2}.\tan {60^{\rm{o}}} = \frac{{x\sqrt 3 }}{2}\]

∆SAB = ΔSAC ⇒ SB = SC ⇒ ΔSBC cân tại S

Gọi M là trung điểm của BC ⇒ SM ⊥ BC

∆ABC đều ⇒ AM ⊥ BC và \(AM = \frac{{x\sqrt 3 }}{2}\) ⇒ BC ⊥ (SAM)

Kẻ AH ⊥ SM.

⇒ BC ⊥ AH ⇒ AH ⊥ (SBC)

⇒ Khoảng cách từ A đến (SBC) là AH \[ \Rightarrow AH = \frac{{a\sqrt 6 }}{4}\]

Xét ∆AHM vuông tại H có:\[\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{M^2}}}\] (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

\[ \Rightarrow \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 6 }}{2}} \right)}^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{{x\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{{x\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}}\]

\[ \Rightarrow \frac{{{a^2}.6}} = 2.\frac{4}{{{x^2}.3}}\] \[ \Rightarrow x = a\]

Khi đó \[SA = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\]; \(AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\); \(BC = x = a\).

\[ \Rightarrow {V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.SA.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.SA.AM.BC = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.a = \frac{{{a^3}}}{4}\] (đơn vị thể tích).

Mở khóa để xem toàn bộ nội dung trả lời

(?)
Bạn đã đạt đến giới hạn của mình. Bằng cách Đăng ký tài khoản, bạn có thể xem toàn bộ nội dung trả lời
Cải thiện điểm số của bạn bằng cách đăng ký tài khoản Lazi.
Xem toàn bộ các câu trả lời, chat trực tiếp 1:1 với đội ngũ Gia sư Lazi bằng cách Đăng nhập tài khoản ngay bây giờ
Tôi đã có tài khoản? Đăng nhập

Bạn hỏi - Lazi trả lời

Bạn muốn biết điều gì?

GỬI CÂU HỎI
Học tập không giới hạn cùng học sinh cả nước và AI, sôi động, tích cực, trải nghiệm
Bài tập liên quan
Bài tập Toán học Lớp 12 mới nhất
Trắc nghiệm Toán học Lớp 12 mới nhất

Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi

Vui Buồn Bình thường

Học ngoại ngữ với Flashcard

×
Trợ lý ảo Trợ lý ảo
×
Gia sư Lazi Gia sư