Hai vòi nước cùng chảy vào bể không có nước trong 3 giờ thì đầy. Nếu vòi 1 chảy nửa bể và vòi 2 chảy tiếp cho đầy bể thì mất tổng cộng 8 giờ. Hỏi nếu mỗi vòi chảy riêng sẽ đầy bể trong bao lâu?

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ đặt một số biến cho thời gian làm đầy bể của mỗi vòi nước.

- Gọi \( t_1 \) là thời gian mà vòi 1 làm đầy bể (trong giờ).
- Gọi \( t_2 \) là thời gian mà vòi 2 làm đầy bể (trong giờ).

**Bước 1**: Xác định lưu lượng của mỗi vòi.

- Nếu hai vòi cùng chảy vào bể trong 3 giờ thì đầy bể, vậy tổng lượng nước từ hai vòi chảy vào bể là:
\[
\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{3}
\]

**Bước 2**: Xác định điều kiện thứ hai.

- Vòi 1 chảy nửa bể, tức là chảy 1/2 bể trong thời gian là \( \frac{t_1}{2} \). Sau đó, vòi 2 tiếp tục chảy để làm đầy bể. Tổng thời gian là 8 giờ:
\[
\frac{1}{t_1} \cdot \frac{t_1}{2} + \frac{1}{t_2} \cdot (8 - \frac{t_1}{2}) = 1
\]
Giải phương trình này:
\[
\frac{1}{2} + \frac{8 - \frac{t_1}{2}}{t_2} = 1
\]
\[
\frac{8 - \frac{t_1}{2}}{t_2} = \frac{1}{2}
\]
\[
8 - \frac{t_1}{2} = \frac{t_2}{2}
\]
\[
16 - t_1 = t_2
\]
Vậy \( t_2 = 16 - t_1 \).

**Bước 3**: Thay \( t_2 \) vào phương trình đầu tiên:
\[
\frac{1}{t_1} + \frac{1}{16 - t_1} = \frac{1}{3}
\]

**Bước 4**: Nhân hai vế với \( 3t_1(16 - t_1) \):
\[
3(16 - t_1) + 3t_1 = t_1(16 - t_1)
\]
\[
48 - 3t_1 + 3t_1 = 16t_1 - t_1^2
\]
\[
48 = 16t_1 - t_1^2
\]
\[
t_1^2 - 16t_1 + 48 = 0
\]

**Bước 5**: Giải phương trình bậc 2:
\[
D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 48 = 256 - 192 = 64
\]
\[
t_1 = \frac{16 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{16 \pm 8}{2}
\]
\[
t_1 = \frac{24}{2} = 12 \quad \text{hoặc} \quad t_1 = \frac{8}{2} = 4
\]

**Bước 6**: Tìm \( t_2 \):
- Nếu \( t_1 = 12 \), thì \( t_2 = 16 - 12 = 4 \).
- Nếu \( t_1 = 4 \), thì \( t_2 = 16 - 4 = 12 \).

Vậy vòi 1 sẽ đầy bể trong **12 giờ** và vòi 2 sẽ đầy bể trong **4 giờ**.