Để giải phương trình

\[
\sqrt{2x + 1} + 3\sqrt{4x^4 - 2x + 1} = 3 + \sqrt{8x^2 + 1}
\]

ta làm như sau:

1. **Đặt điều kiện xác định**:
- Phần dưới căn phải không âm:
- \(2x + 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -\frac{1}{2}\)
- \(4x^4 - 2x + 1 \geq 0\) (Luôn đúng với mọi \(x\))
- \(8x^2 + 1 \geq 0\) (Luôn đúng với mọi \(x\))

Vậy điều kiện xác định là \(x \geq -\frac{1}{2}\).

2. **Biến đổi và đơn giản hóa**:
- Chuyển \(3\) sang bên trái và căn \( \sqrt{8x^2 + 1} \) sang bên phải:
\[
\sqrt{2x + 1} + 3\sqrt{4x^4 - 2x + 1} - 3 = \sqrt{8x^2 + 1}
\]

3. **Bình phương hai vế (cẩn thận với các nghiệm mới sinh)**:
- Bình phương cả hai vế:
\[
\left(\sqrt{2x + 1} + 3\sqrt{4x^4 - 2x + 1} - 3\right)^2 = (8x^2 + 1)
\]
- Cần một số bước bình phương và sắp xếp lại để tìm nghiệm.

4. **Giải phương trình mới**:
- Bạn sẽ thu được một phương trình bậc cao hơn.
- Từ đó, cần giải phương trình này rồi kiểm tra các nghiệm tìm được có thỏa mãn điều kiện ban đầu.

5. **Kiểm tra nghiệm**:
- Sau khi tìm được nghiệm, hãy kiểm tra mỗi nghiệm đó vào phương trình gốc để xác nhận tính đúng đắn.

Tùy thuộc vào phương trình bậc cao bạn có thể sử dụng một số phương pháp như phân tích phương trình, thế số hoặc tính toán số để tìm nghiệm cuối cùng.