Để chứng minh rằng tích \( (n + a)(n + 6) \) chia hết cho 2 với mọi số tự nhiên \( n \) và cho mọi số nguyên \( a \), ta cần xem xét hai trường hợp của \( n \).

1. **Trường hợp \( n \) là số chẵn**:
- Nếu \( n \) là số chẵn, tức là \( n = 2k \) với \( k \) là số tự nhiên.
- Ta có:
\[
(n + a)(n + 6) = (2k + a)(2k + 6)
\]
- Một trong hai yếu tố \( (2k + a) \) hoặc \( (2k + 6) \) sẽ luôn là số chẵn. Bởi vì, nếu \( a \) là số chẵn thì \( (2k + a) \) chẵn; còn nếu \( a \) là số lẻ thì \( (2k + 6) \) sẽ là chẵn.
- Do đó, tích \( (n + a)(n + 6) \) sẽ chia hết cho 2.

2. **Trường hợp \( n \) là số lẻ**:
- Nếu \( n \) là số lẻ, tức là \( n = 2k + 1 \) với \( k \) là số tự nhiên.
- Ta có:
\[
(n + a)(n + 6) = ((2k + 1) + a)((2k + 1) + 6) = (2k + 1 + a)(2k + 7)
\]
- Một trong hai yếu tố \( (2k + 1 + a) \) hoặc \( (2k + 7) \) sẽ luôn là số chẵn. Bởi vì, nếu \( a \) là số lẻ thì \( (2k + 1 + a) \) chẵn; còn nếu \( a \) là số chẵn thì \( (2k + 7) \) sẽ là chẵn.
- Do đó, tích \( (n + a)(n + 6) \) cũng sẽ chia hết cho 2.

Kết luận, trong cả hai trường hợp \( n \) là chẵn hoặc lẻ, tích \( (n + a)(n + 6) \) luôn chia hết cho 2 với mọi số tự nhiên \( n \) và mọi số nguyên \( a \). Chứng minh đã hoàn tất.