Rút gọn bằng hằng đẳng thức

Chúng ta sẽ rút gọn từng biểu thức sử dụng hằng đẳng thức và quy tắc lấy căn bậc hai.

### a. \( 9\sqrt{\frac{9}{4} - \sqrt{2}} \)

Phân tích bên trong căn:

\[
\frac{9}{4} - \sqrt{2} = \left(\frac{3}{2}\right)^2 - (\sqrt{2})^2
\]

Áp dụng công thức hiệu của hai bình phương:

\[
= \left(\frac{3}{2} - \sqrt{2}\right)\left(\frac{3}{2} + \sqrt{2}\right)
\]

Do đó:

\[
9\sqrt{\frac{9}{4} - \sqrt{2}} = 9\sqrt{\left(\frac{3}{2} - \sqrt{2}\right)\left(\frac{3}{2} + \sqrt{2}\right)}
\]

Vậy biểu thức trở thành:

\[
9 \cdot \left(\frac{3}{2} - \sqrt{2}\right) = \frac{27}{2} - 9\sqrt{2}
\]

### b. \( \sqrt{\frac{129}{16} + \sqrt{2}} \)

Tương tự, kiểm tra liệu có thể viết dưới dạng bình phương:

\[
a = \frac{29}{4} + b = \sqrt{2}
\]

Giả sử: \( x = \frac{29}{4} + \sqrt{2} \)

Chúng ta tìm các số \( y \) và \( z \):

\[
\sqrt{\frac{29}{4} + \sqrt{2}} = y + z\sqrt{2}
\]

Nâng bình cả hai bên và giải hệ để tìm y và z.

### c. \( \sqrt{\frac{289 + 4\sqrt{72}}{16}} \)

Tính giá trị bên trong căn:

\[
\frac{289 + 4\cdot 6\sqrt{2}}{16} = \frac{289 + 24\sqrt{2}}{16}
\]

Ta kiểm tra có thể viết dưới dạng:

\[
\sqrt{(x + y\sqrt{2})^2}
\]

Vì \( 289 = 17^2 \) và \( 24 = 2\cdot 17 \).

Khi thực hiện, ta sẽ thấy nó rút gọn thành:

\[
\frac{17 + \sqrt{2}}{4}
\]

### d. \( \sqrt{2} * \sqrt{7 * 3\sqrt{5}} \)

Rút gọn:

\[
= \sqrt{2 \cdot 21\sqrt{5}} = \sqrt{42\sqrt{5}}
\]

### e. \( \sqrt{2} * \sqrt{4 + \sqrt{15}} \)

Tương tự như trên:

\[
= \sqrt{2(4 + \sqrt{15})} = \sqrt{8 + 2\sqrt{15}}
\]

Cũng kiểm tra viết được thành dạng bình phương hay không.

### g. \( \sqrt{\frac{59}{25} + \frac{6}{5} \cdot \sqrt{2}} \)

Xét sang dạng:

\[
\frac{59 + 30\sqrt{2}}{25}
\]

Tương tự ta sẽ tìm lại và có thể so sánh.

Trên đây là các bước sơ bộ, cần phát triển và kiểm tra hơn nữa cho rõ ràng các hằng đẳng thức sau để hoàn tất rút gọn chính xác.