Chứng minh rằng \( P \) không phụ thuộc vào các biến \( a, b, c \)

Ta xét biểu thức:

\[
P = \frac{a^2}{(a-b)(a-c)} + \frac{b^2}{(b-a)(b-c)} + \frac{c^2}{(c-a)(c-b)}
\]

Để chứng minh rằng \( P \) không phụ thuộc vào các biến \( a, b, c \), ta có thể thực hiện phép biến đổi dưới dạng một hàm số phụ thuộc vào các biến số:

1. **Hợp nhất các mẫu số**: Tìm mẫu chung cho biểu thức \( P \):
\[
M = (a-b)(a-c)(b-a)(b-c)(c-a)(c-b)
\]
Mẫu số này cần thiết là tích của tất cả các ký hiệu \( (a-b), (a-c), (b-a), (b-c), (c-a), (c-b) \).

2. **Tìm tử số của từng phần**: Sau khi đã xác định mẫu chung, ta có thể biến đổi từng phần của \( P \) để đưa về mẫu chung:

- Phần đầu tiên:
\[
\frac{a^2 \cdot (b-a)(b-c)(c-a)(c-b)}{(a-b)(a-c)(b-a)(b-c)(c-a)(c-b)}
\]

- Phần thứ hai:
\[
\frac{b^2 \cdot (a-b)(a-c)(c-a)(c-b)}{(b-a)(b-c)(a-b)(a-c)(c-a)(c-b)}
\]

- Phần thứ ba:
\[
\frac{c^2 \cdot (a-b)(a-c)(b-a)(b-c)}{(c-a)(c-b)(a-b)(a-c)(b-a)(b-c)}
\]

3. **Tính tổng**: Sau khi đã đưa về mẫu chung, ta sẽ cộng các tử số lại với nhau.

4. **Chia tách và khai triển**: Ta có thể trình bày biểu thức \( P \) của mình như là một biểu thức với các biến \( a, b, c \) có thể giao hoán.

5. **Hệ số không phụ thuộc**: Một điểm quan trọng là khi chúng ta tính toán tất cả các hệ số, các biến \( a, b, c \) sẽ rời khỏi biểu thức, và kết quả cuối sẽ là một số cố định.

Như vậy, qua việc hợp nhất và khai triển, ta có thể trình bày \( P \) dưới dạng một hằng số, với hằng số này không phụ thuộc vào các biến \( a, b, c \).

Cuối cùng, ta có thể kết luận rằng \( P \) không phụ thuộc vào \( a, b, c \).