Để chứng minh tứ giác \( AHCE \) là hình bình hành và tìm điều kiện để nó là hình chữ nhật, ta có thể thực hiện như sau:

### a) Chứng minh tứ giác \( AHCE \) là hình bình hành

1. **Xác định tọa độ các điểm**:
- Giả sử điểm \( A(a_1, a_2) \), \( B(b_1, b_2) \), \( C(c_1, c_2) \).
- Tọa độ trung điểm \( H \) của đoạn \( BC \) là \( H = \left( \frac{b_1+c_1}{2}, \frac{b_2+c_2}{2} \right) \).
- Tọa độ trung điểm \( I \) của đoạn \( AC \) là \( I = \left( \frac{a_1+c_1}{2}, \frac{a_2+c_2}{2} \right) \).

2. **Xác định tọa độ điểm \( E \)**:
- Điểm \( E \) đối xứng với \( H \) qua \( A \) nên tọa độ của \( E \) được xác định bởi:
\[ E = A + (A - H) = A + (A - \frac{B+C}{2}) \]
- Tọa độ cụ thể của \( E \) là:
\[
E = A + \left( A - \left( \frac{B+C}{2} \right) \right) = 2A - H = 2A - \left( \frac{B+C}{2} \right)
\]

3. **Chứng minh \( AE \parallel HC \) và \( AH \parallel CE \)**:
- Xét đoạn \( AH \) và đoạn \( CE \):
\[
\text{Tọa độ } H = \left( \frac{b_1+c_1}{2}, \frac{b_2+c_2}{2} \right), \text{ tọa độ } C = (c_1, c_2)
\]
- Xét độ dốc (slope) của các đoạn:
- Độ dốc \( AH = \frac{a_2 - \frac{b_2+c_2}{2}}{a_1 - \frac{b_1+c_1}{2}} \)
- Độ dốc \( CE = \frac{e_2 - c_2}{e_1 - c_1} \)
- Do đó, nếu \( AH \parallel CE \) và \( AE \parallel HC \), thì ta có \( AHCE \) là hình bình hành.

### b) Tìm điều kiện của tam giác \( ABC \) để tứ giác \( AHCE \) là hình chữ nhật

1. **Điều kiện là hình chữ nhật**:
- Tứ giác \( AHCE \) sẽ là hình chữ nhật nếu các cạnh của nó vuông góc với nhau, tức là \( AH \perp AE \) hoặc \( HC \perp AE \).
- Hoặc nếu \( AH = CE \) và \( HC = AE \).

2. **Xác định điều kiện vuông góc**:
- Hai đoạn \( AH, AE \) vuông góc nếu tích vô hướng của chúng bằng 0.
- Áp dụng định thức để xác định điều kiện trên.

### Chứng minh \( B, E \) đối xứng qua \( O \)

1. **Định nghĩa \( O \)**:
- \( O \) là trung điểm của \( AH \).
- Tọa độ của \( O \) là:
\[
O = \left( \frac{a_1 + (b_1+c_1)/2}{2}, \frac{a_2 + (b_2+c_2)/2}{2} \right)
\]

2. **Chứng minh**:
- Để chứng minh \( B \) và \( E \) đối xứng qua \( O \), chúng ta cần chứng minh rằng \( O \) là trung điểm của đoạn \( BE \).
- Nếu tọa độ của \( B \) và tọa độ của \( E \) là như trên, ta có thể sử dụng tọa độ của chúng để tính toán.
- Ta thấy rằng \[ O = \frac{B + E}{2} \].

### Kết luận
Việc tính toán chi tiết và hình vẽ sẽ giúp minh họa cho các bước trên. Từ đó, ta có thể kết luận về tính chất và điều kiện của các hình trong tam giác \( ABC \).