Để giải bài toán này, ta có thể thực hiện các bước sau:

1. **Đặt các biến cho chiều dài và chiều rộng**:
- Gọi chiều rộng của hình chữ nhật là \( w \) (cm).
- Chiều dài sẽ là \( l = 2w \) (cm).

2. **Sử dụng công thức chu vi**:
- Chu vi hình chữ nhật được tính bằng công thức \( P = 2(l + w) \).
- Ta có chu vi \( P = 30 \) cm, vậy ta có phương trình:
\[
2(2w + w) = 30
\]

3. **Giải phương trình**:
- Rút gọn:
\[
2(3w) = 30
\]
\[
6w = 30
\]
\[
w = 5 \text{ cm}
\]

4. **Tính chiều dài**:
- Chiều dài là:
\[
l = 2w = 2 \times 5 = 10 \text{ cm}
\]

5. **Tính diện tích**:
- Diện tích hình chữ nhật được tính bằng công thức \( S = l \times w \):
\[
S = 10 \times 5 = 50 \text{ cm}^2
\]

**Kết luận**: Diện tích hình chữ nhật là \( 50 \text{ cm}^2 \).