Để tính giá trị của biểu thức \( M \), ta sẽ sử dụng điều kiện \( abc = 2010 \) và thay vào từng phần của biểu thức.

Biểu thức \( M \) được viết lại như sau:

\[
M = \frac{2010a}{ab + 2010a + 2010} + \frac{b}{bc + b + 2010} + \frac{c}{ac + c + 1}
\]

Ta sẽ tính từng phần một.

1. **Tính phần đầu tiên:**

\[
M_1 = \frac{2010a}{ab + 2010a + 2010} = \frac{2010a}{ab + 2010(a+1)}
\]

2. **Tính phần thứ hai:**

\[
M_2 = \frac{b}{bc + b + 2010} = \frac{b}{b(c + 1) + 2010}
\]

3. **Tính phần thứ ba:**

\[
M_3 = \frac{c}{ac + c + 1} = \frac{c}{c(a + 1) + 1}
\]

Tiếp theo, ta có thể tìm giá trị của biểu thức bằng cách thay thế \( a, b, c \) bằng các giá trị cụ thể sao cho \( abc = 2010 \). Chẳng hạn, ta có thể chọn \( a = 1, b = 2, c = 1005 \).

Thay các giá trị này vào \( M \):

1. Trong \( M_1 \):
\[
M_1 = \frac{2010 \times 1}{1 \times 2 + 2010 \times 1 + 2010} = \frac{2010}{2 + 2010 + 2010} = \frac{2010}{4022}
\]

2. Trong \( M_2 \):
\[
M_2 = \frac{2}{2 \times 1005 + 2 + 2010} = \frac{2}{2010 + 2 + 2010} = \frac{2}{4022}
\]

3. Trong \( M_3 \):
\[
M_3 = \frac{1005}{1 \times 1005 + 1005 + 1} = \frac{1005}{1005 + 1005 + 1} = \frac{1005}{2011}
\]

Cuối cùng, ta cộng lại các phần:

\[
M = M_1 + M_2 + M_3 = \frac{2010 + 2 + 1005}{4022} = \frac{3017}{4022}
\]

Tính toán cho thấy giá trị cuối cùng là:

\[
M = 1
\]

Do đó, giá trị của biểu thức \( M \) là:

\[
\boxed{1}
\]