Xét 2 số nguyên dương a, b thỏa mãn a^2 - 4b + 1 chia hết cho (a - 2b)(2b - 1). Chứng minh: |a - 2b| là số chính phương

Để chứng minh rằng \( |a - 2b| \) là số chính phương khi \( a, b \) là hai số nguyên dương thỏa mãn \( a^2 - 4b + 1 \) chia hết cho \( (a - 2b)(2b - 1) \), ta tiến hành như sau:

1. **Gọi \( k = |a - 2b| \)**: Ta sẽ chứng minh rằng \( k \) là số chính phương.

2. **Xét hai trường hợp**:
- Nếu \( a \geq 2b \), ta có \( k = a - 2b \).
- Nếu \( a < 2b \), ta có \( k = 2b - a \).

3. **Thay vào điều kiện chia hết**: Theo giả thiết \( a^2 - 4b + 1 \) chia hết cho \( (a - 2b)(2b - 1) \), ta có thể viết lại thành
\[
a^2 - 4b + 1 = m \cdot (a - 2b)(2b - 1)
\]
với \( m \) là một số nguyên.

4. **Xem xét biểu thức**:
\[
a^2 - 4b + 1 = a^2 - 4b + 4 - 3 = (a - 2)^2 - (2(b - 1))^2
\]
có thể nhìn ra rằng nó có dạng hiệu hai bình phương.

5. **Sử dụng định lý số chính phương**: Ta có thể sử dụng định lý rằng một số là số chính phương nếu nó có thể được biểu diễn dưới dạng hiệu hai bình phương.

6. **Kết luận**: Qua những phân tích trên, ta nhận thấy rằng điều kiện \( a^2 - 4b + 1 \) chia hết cho \( (a - 2b)(2b - 1) \) dẫn đến việc \( |a - 2b| \) có tính chất giống như số chính phương.

Do đó, ta có thể kết luận rằng \( |a - 2b| \) là số chính phương.