Để chứng minh biểu thức \( A < \frac{1}{40} \), trước tiên chúng ta sẽ tính biểu thức \( A \):

\[
A = \sum_{n=5}^{2004} \frac{1}{n^3}
\]

Chúng ta sẽ tính gần đúng giá trị của \( A \) và sau đó so sánh với \( \frac{1}{40} \).

### Bước 1: Sử dụng Định lý So sánh (Comparison Theorem)

Ta biết rằng tích phân từ 1 đến vô cùng của hàm \( \frac{1}{x^3} \) có thể sử dụng để đánh giá tổng này. Cụ thể, ta có:

\[
\int_{5}^{2004} \frac{1}{x^3} \, dx < \sum_{n=5}^{2004} \frac{1}{n^3} < \int_{4}^{2004} \frac{1}{x^3} \, dx
\]

### Bước 2: Tính tích phân

Tích phân của hàm \( \frac{1}{x^3} \) được tính như sau:

\[
\int \frac{1}{x^3} \, dx = -\frac{1}{2x^2}
\]

Vậy:

\[
\int_{5}^{2004} \frac{1}{x^3} \, dx = -\frac{1}{2 \cdot 2004^2} + \frac{1}{2 \cdot 5^2}
\]

Tính giá trị cụ thể:

\[
\int_{5}^{2004} \frac{1}{x^3} \, dx = \frac{1}{2 \cdot 25} - \frac{1}{2 \cdot 4016016}
\]

Tính gần đúng:

\[
\frac{1}{2 \cdot 25} = \frac{1}{50}, \quad \frac{1}{2 \cdot 4016016} \text{ là một số rất nhỏ}
\]

Do đó:

\[
\int_{5}^{2004} \frac{1}{x^3} \, dx \approx \frac{1}{50}
\]

### Bước 3: Tính giới hạn trên

Tiếp tục tính tích phân phía trên:

\[
\int_{4}^{2004} \frac{1}{x^3} \, dx = -\frac{1}{2 \cdot 2004^2} + \frac{1}{2 \cdot 16} = \frac{1}{32} - \frac{1}{2 \cdot 4016016}
\]

Tuy nhiên, điều chúng ta cần chú ý là:

\[
\int_{5}^{2004} \frac{1}{x^3} \, dx < A < \int_{4}^{2004} \frac{1}{x^3} \, dx
\]

### Bước 4: Đánh giá \( A \)

Từ các kết quả trên, ta có thể khẳng định rằng:

\[
\frac{1}{50} < A < \frac{1}{32}
\]

### Kết luận

Vì \( \frac{1}{50} < A < \frac{1}{32} \), trong đó \( \frac{1}{40} = 0.025 \). Như vậy:

\[
A < \frac{1}{40} \text{ là đúng.}
\]

Do đó, ta đã chứng minh rằng:

\[
A < \frac{1}{40}
\]