Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp trong đường tròn (0). Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC đồng quy tại trực tâm H. Gọi P là giao điểm của đường thẳng EF với đường thẳng AH

Chúng ta sẽ giải bài toán theo từng yêu cầu như sau:

### a) Chứng minh △ABC đồng dạng với △AEF.

Để chứng minh hai tam giác \( \triangle ABC \) và \( \triangle AEF \) đồng dạng, chúng ta cần chứng minh rằng tương ứng các góc của chúng bằng nhau.

1. Xét các góc trong tam giác \( ABC \):
- Góc \( A = \angle A \).
- Góc \( B = \angle ABC \).
- Góc \( C = \angle ACB \).

2. Xét các góc trong tam giác \( AEF \):
- Góc \( A = \angle AEF \) (do \( EF \) cắt \( AH \)).
- Góc \( E = \angle EAF \) (do tính chất của giao điểm của hai đường thẳng).
- Góc \( F = \angle AFE \).

3. Vì tam giác \( ABC \) là tam giác nhọn, tức là \( \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \), và khi \( AD, BE, CF \) là các đường cao, nên:
- \( \angle AEF = 90^\circ - \angle C \)
- \( \angle AFE = 90^\circ - \angle B \)

Kết hợp lại, ta có:

- \( \angle A = \angle AEF \)
- \( \angle EAB = \angle ABC \)
- \( \angle FAE = \angle ACB \)

Vì vậy, ta có:

\[
\angle A = \angle AEF, \quad \angle ABC = \angle EAB, \quad \angle ACB = \angle FAE
\]

Từ đó, ta có thể kết luận rằng:

\[
\triangle ABC \sim \triangle AEF
\]

### b) Chứng minh \( EF \parallel AO \).

1. \( AO \) là đường thẳng nối từ đỉnh \( A \) đến tâm \( O \) của đường tròn nội tiếp tam giác \( ABC \).
2. Do \( EF \) là đoạn thẳng nối giữa hai điểm \( E \) và \( F \) là các chân đường cao của \( AH \), đồng thời góc giữa chúng đều đi qua tâm \( O \).

3. Sử dụng tính chất của các góc trong tam giác nội tiếp:
\[
\angle AHE = \angle AOE \quad \text{và} \quad \angle AHF = \angle AOF
\]
4. Do đó, có:

\[
\angle AEF = \angle AOB \quad \text{và} \quad \angle AFE = \angle AOC
\]

Vì vậy, do hai cặp góc này là bằng nhau, suy ra \( EF \parallel AO \).

### c) Gọi \( I \) là trung điểm của \( AH \), chứng minh \( IE = IP \) và \( ID \).

Để chứng minh, do \( I \) là trung điểm của \( AH \), ta có:

1. \( IE = IP \): Vì \( P \) là giao điểm của \( EF \) với \( AH \), nên \( I \) chia \( AH \) thành hai đoạn bằng nhau, bởi vì nó là trung điểm.

2. Tiếp theo, chúng ta sử dụng định lý trung điểm, để chứng minh \( ID \):

\[
ID = IA \quad \text{(do \( I \) nằm trên đoạn thẳng \( AH \))}
\]

Từ những kết luận trên, ta có:

\[
IE = IP, \quad ID = IP
\]

Vậy, điều cần chứng minh đã hoàn thành và chúng ta có \( IE = IP \) và \( ID = IA \).

Tóm lại, các bước vừa trình bày đã chứng minh được các yêu cầu nêu ra trong bài toán.