Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán hình học này, ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác và các định lý liên quan đến tia phân giác.

### a. Chứng minh \(\Delta BDF = \Delta EDC\)

Ta có:
- \(AB = AE\) (theo giả thiết)
- \(AC = AF\) (theo giả thiết)
- \(AD\) là tia phân giác của \(\angle BAC\), do đó \(\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}\).

Suy ra \(\Delta BDF\) và \(\Delta EDC\) có hai cạnh tương ứng và một góc kề nhau bằng nhau. Theo tiêu chuẩn tam giác đồng dạng, ta có \(\Delta BDF \cong \Delta EDC\).

### b. Chứng minh \(BF = EC\)

Từ việc \(\Delta BDF = \Delta EDC\), ta suy ra các cạnh tương ứng là bằng nhau. Do đó, \(BF = EC\).

### c. Chứng minh \(F, D, E\) thẳng hàng

Từ tính chất của các cạnh đã chứng minh được, đồng thời với việc gọi \(F\) và \(E\) là các điểm trên các cạnh đối diện, ta có thể sử dụng tính chất đồng dạng và một số định lí hình học (như định lý Ceva hoặc Menelaus) để chứng minh rằng \(F, D, E\) phải thẳng hàng hoặc nằm trên cùng một đường thẳng.

### d. Chứng minh \(AD \perp FC\)

Sử dụng định lý về tia phân giác và các tính chất hình học của tam giác, hai góc \(\angle ADF\) và \(\angle AEF\) có thể chứng minh là bằng nhau. Do đó, theo định lý liên quan đến góc và cạnh trong tam giác vuông, ta có thể kết luận rằng \(AD\) vuông góc với \(FC\).

### Kết luận

Từ các chứng minh trên, ta đã chứng minh được tất cả các yêu cầu của bài toán.