Để chứng minh rằng tổng của 43 số nguyên là một số nguyên âm, chúng ta có thể làm theo các bước sau:

Giả sử \( S \) là tổng của 43 số nguyên, tức là:

\[
S = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_{43}
\]

Theo giả thuyết, tổng của bất kỳ 7 số nào trong 43 số đó là một số nguyên âm.

Đặt \( S_7 = a_{i_1} + a_{i_2} + a_{i_3} + a_{i_4} + a_{i_5} + a_{i_6} + a_{i_7} \) là tổng của 7 số bất kỳ, với \( S_7 < 0 \).

Nếu lấy tổng của 36 số còn lại (tức là 43 số trừ đi 7 số đã chọn), chúng ta có thể viết lại tổng \( S \) như sau:

\[
S = S_7 + (S - S_7)
\]

Theo giả thuyết, vì \( S_7 < 0 \), nên có tổng:

\[
S = S_7 + S_{36}
\]

Trong đó \( S_{36} \) là tổng của 36 số còn lại. Từ đó suy ra:

\[
S_{36} = S - S_7
\]

Để kết thúc chứng minh, chúng ta sẽ chỉ ra trường hợp cực trị của tổng.

1. Nếu \( S_7 < 0 \) cho mọi tập hợp 7 số, điều này ngụ ý rằng cả 36 số còn lại khi cộng lại với nhau cũng sẽ phải mang giá trị âm để bù đắp cho giá trị âm của \( S_7 \).

2. Từ đó, tổng của tất cả 43 số (kết hợp nhiều hơn 7 số) sẽ kéo theo việc phải có giá trị âm.

Do đó, nếu tổng của bất kỳ 7 số nào là âm, điều này kéo theo tổng của cả 43 số cũng phải là âm. Vậy, tổng của 43 số nguyên là một số nguyên âm.

**Kết luận:** Tổng của 43 số nguyên là một số nguyên âm.