Cho tam giác ABC, cạnh BC cố định, đường trung tuyến BM = 1,5 cm. Chứng minh rằng điểm A thuộc một đường tròn cố định

Để chứng minh rằng điểm A thuộc một đường tròn cố định khi BM = 1,5 cm được cho trước, ta thực hiện các bước sau:

1. **Cách đặt và định nghĩa:**
- Gọi M là trung điểm của cạnh BC cố định.
- Gọi độ dài của các cạnh như sau: BM = 1,5 cm.
- Theo định nghĩa, đường trung tuyến BM chia cạnh BC thành hai đoạn bằng nhau, tức là \( BM = \frac{1}{2}BC \).

2. **Tính toán và sử dụng định lý trung tuyến:**
- Đường trung tuyến từ đỉnh A đến cạnh BC được cho bởi công thức:
\[
BM^2 = \frac{2AB^2 + 2AC^2 - BC^2}{4}
\]
- Thay BM = 1.5 cm vào công thức này, ta có:
\[
(1.5)^2 = \frac{2AB^2 + 2AC^2 - BC^2}{4}
\]
- Giải phương trình này để tìm mối liên hệ giữa các đoạn thẳng AB, AC và độ dài BC.

3. **Sử dụng tính chất của đường tròn:**
- Dễ nhận thấy rằng M là trung điểm cố định của đoạn BC.
- Khi A di chuyển, chỉ cần giữ BM = 1,5 cm cố định, thì ta có thể nhận thấy rằng A sẽ mô tả một đường tròn có bán kính bằng 1,5 cm với tâm tại M.
- Điều này xuất phát từ tính chất của đường trung tuyến: quỹ đạo của điểm A khi BM được giữ cố định là một vòng tròn với bán kính bằng độ dài BM.

4. **Kết luận:**
- Do đó, bất kể A ở đâu trên tam giác, chỉ cần BM = 1.5 cm giữ cố định, điểm A sẽ luôn nằm trên một đường tròn cố định có bán kính 1,5 cm và tâm tại M.

Trong quá trình này, chúng ta đã chứng minh rằng điểm A thuộc một đường tròn cố định khi BM cố định.