Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng những thông tin đã cho để tính xác suất cho từng trường hợp.

### Bài 1: Xác suất đạt 15 điểm

1. **Điểm số đạt được**:
- Mỗi câu đúng được 4 điểm.
- Mỗi câu sai trừ 1 điểm.
- Giả sử thí sinh trả lời đúng \( k \) câu, thì số câu sai sẽ là \( 10 - k \).
- Điểm số đạt được sẽ là:
\[
4k - (10 - k) = 5k - 10
\]
- Để đạt 15 điểm, ta có:
\[
5k - 10 = 15 \implies 5k = 25 \implies k = 5
\]
- Thí sinh cần trả lời đúng 5 câu và sai 5 câu.

2. **Tính xác suất**:
- Số cách chọn 5 câu đúng từ 10 câu là:
\[
C(10, 5) = \frac{10!}{5!5!} = 252
\]
- Xác suất trả lời đúng một câu là \( \frac{1}{4} \) và sai là \( \frac{3}{4} \).
- Xác suất để thí sinh trả lời đúng 5 câu và sai 5 câu là:
\[
P = C(10,5) \left( \frac{1}{4} \right)^5 \left( \frac{3}{4} \right)^5 = 252 \cdot \left( \frac{1}{4} \right)^5 \cdot \left( \frac{3}{4} \right)^5
\]
- Tính giá trị:
\[
P = 252 \cdot \frac{1}{1024} \cdot \frac{243}{1024} = \frac{252 \cdot 243}{1024^2}
\]

### Bài 2: Xác suất bị điểm âm

- Thí sinh bị điểm âm khi tổng điểm nhỏ hơn 0:
\[
5k - 10 < 0 \implies 5k < 10 \implies k < 2
\]

- Thí sinh cần trả lời đúng 0 hay 1 câu. Tương tự:

1. **Trả lời đúng 0 câu**:
- Số câu sai là 10 và điểm số là:
\[
4 \cdot 0 - 10 = -10
\]
- Xác suất là:
\[
P_0 = \left( \frac{3}{4} \right)^{10}
\]

2. **Trả lời đúng 1 câu**:
- Số câu sai là 9 và điểm số là:
\[
4 \cdot 1 - 9 = -5
\]
- Số cách chọn 1 câu đúng từ 10:
\[
C(10, 1) = 10
\]
- Xác suất là:
\[
P_1 = 10 \cdot \left( \frac{1}{4} \right) \cdot \left( \frac{3}{4} \right)^9
\]

3. **Tính tổng xác suất**:
\[
P_{\text{bị điểm âm}} = P_0 + P_1 = \left( \frac{3}{4} \right)^{10} + 10 \cdot \left( \frac{1}{4} \right) \cdot \left( \frac{3}{4} \right)^9
\]

Sau khi tính toán, bạn sẽ có giá trị xác suất cụ thể cho cả hai trường hợp.