Để chứng minh không tồn tại các số nguyên \(x\), \(y\), \(z\) thỏa mãn phương trình

\[
x^4 + y^4 = 15z^4 + 6,
\]

chúng ta sẽ xem xét modulo để tìm ra sự mâu thuẫn.

Đầu tiên, chúng ta xét phương trình này modulo \(16\).

### Bước 1: Xét \(x^4\) và \(y^4\) modulo \(16\)

Các số nguyên \(n\) khi bình phương (tính modulo \(16\)) có các giá trị sau:

- Nếu \(n \equiv 0 \mod 16\), thì \(n^4 \equiv 0 \mod 16\).
- Nếu \(n \equiv 1 \mod 16\), thì \(n^4 \equiv 1 \mod 16\).
- Nếu \(n \equiv 2 \mod 16\), thì \(n^4 \equiv 0 \mod 16\).
- Nếu \(n \equiv 3 \mod 16\), thì \(n^4 \equiv 1 \mod 16\).
- Nếu \(n \equiv 4 \mod 16\), thì \(n^4 \equiv 0 \mod 16\).
- Nếu \(n \equiv 5 \mod 16\), thì \(n^4 \equiv 1 \mod 16\).
- Nếu \(n \equiv 6 \mod 16\), thì \(n^4 \equiv 0 \mod 16\).
- Nếu \(n \equiv 7 \mod 16\), thì \(n^4 \equiv 1 \mod 16\).
- Nếu \(n \equiv 8 \mod 16\), thì \(n^4 \equiv 0 \mod 16\).
- Nếu \(n \equiv 9 \mod 16\), thì \(n^4 \equiv 1 \mod 16\).
- Nếu \(n \equiv 10 \mod 16\), thì \(n^4 \equiv 0 \mod 16\).
- Nếu \(n \equiv 11 \mod 16\), thì \(n^4 \equiv 1 \mod 16\).
- Nếu \(n \equiv 12 \mod 16\), thì \(n^4 \equiv 0 \mod 16\).
- Nếu \(n \equiv 13 \mod 16\), thì \(n^4 \equiv 1 \mod 16\).
- Nếu \(n \equiv 14 \mod 16\), thì \(n^4 \equiv 0 \mod 16\).
- Nếu \(n \equiv 15 \mod 16\), thì \(n^4 \equiv 1 \mod 16\).

Kết quả là \(n^4 \equiv 0 \text{ hoặc } 1 \mod 16\), cụ thể:

- Nếu \(x^4 + y^4\) có thể là \(0, 1, 2\), hoặc \(1, 1\), tức là \(2 \mod 16\).

### Bước 2: Xét phần bên phải của phương trình

Giờ chúng ta sẽ tính \(15z^4 + 6 \mod 16\):
- Nếu \(z^4 \equiv 0 \mod 16\), thì \(15z^4 + 6 \equiv 0 + 6 \equiv 6 \mod 16\).
- Nếu \(z^4 \equiv 1 \mod 16\), thì \(15z^4 + 6 \equiv 15 + 6 \equiv 21 \equiv 5 \mod 16\).

### Bước 3: Tóm tắt kết quả

- \(x^4 + y^4 \equiv 0, 2 \mod 16\) (điều này có thể xảy ra).
- \(15z^4 + 6 \equiv 6 \text{ hoặc } 5 \mod 16\).

Nhìn vào kết quả trên, chúng ta thấy rằng không có giá trị nào của \(x^4 + y^4\) (có thể là \(0\) hoặc \(2\)) mà lại bằng với \(15z^4 + 6\) (không thể là \(6\) hoặc \(5\)).

### Kết luận

Chúng ta đã chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên \(x\), \(y\), \(z\) thỏa mãn phương trình \(x^4 + y^4 = 15z^4 + 6\).