Để tìm tọa độ điểm \( B \) trong tam giác \( ABC \) với các điểm đã cho:

- \( A(4; -1) \)
- \( C(-2; 2) \)
- \( H(-\frac{1}{2}; -1) \) là trực tâm của tam giác \( ABC \)

Ta sẽ sử dụng tính chất của trực tâm. Theo định lý, trực tâm của một tam giác là giao điểm của ba đường cao. Để tìm điểm \( B \), ta sẽ cần tính toán đường thẳng nối giữa điểm \( A \) và một điểm trên đường cao từ \( B \) xuống cạnh \( AC \).

Đầu tiên, ta có thể tính độ dốc của đường thẳng \( AC \):

\[
\text{Độ dốc của } AC = \frac{y_C - y_A}{x_C - x_A} = \frac{2 - (-1)}{-2 - 4} = \frac{3}{-6} = -\frac{1}{2}
\]

Phương trình đường thẳng \( AC \) trong dạng y = mx + b là:

\[
y - y_A = m(x - x_A) \implies y + 1 = -\frac{1}{2}(x - 4)
\]

Giải phương trình trên để có:

\[
y + 1 = -\frac{1}{2}x + 2 \implies y = -\frac{1}{2}x + 1
\]

Bây giờ, chúng ta sẽ tìm phương trình đường cao từ \( B \) (gọi tọa độ của \( B \) là \( B(x_B; y_B) \)) xuống cạnh \( AC \). Đường cao này sẽ vuông góc với đường thẳng \( AC \) và do đó sẽ có độ dốc:

\[
\text{Độ dốc vuông góc } = 2
\]

Dùng điểm \( H \) (trực tâm) và độ dốc vuông góc để tìm phương trình đường cao:

\[
y - y_H = m(x - x_H) \implies y + 1 = 2(x + \frac{1}{2})
\]

Giải phương trình trên:

\[
y + 1 = 2x + 1 \implies y = 2x
\]

Giờ ta có hai phương trình:

1. Phương trình cạnh \( AC \): \( y = -\frac{1}{2}x + 1 \)
2. Phương trình đường cao từ \( B \) xuống \( AC \): \( y = 2x \)

Giải hệ phương trình này bằng cách thay \( y \) từ phương trình thứ hai vào phương trình thứ nhất:

\[
2x = -\frac{1}{2}x + 1
\]

Giải phương trình:

\[
2x + \frac{1}{2}x = 1 \implies \frac{5}{2}x = 1 \implies x = \frac{2}{5}
\]

Thay giá trị \( x \) vào phương trình \( y = 2x \):

\[
y = 2 \cdot \frac{2}{5} = \frac{4}{5}
\]

Vậy tọa độ điểm \( B \) là:

\[
B\left( \frac{2}{5}; \frac{4}{5} \right)
\]

Tóm lại, điểm \( B \) có tọa độ:

\[
B\left( \frac{2}{5}; \frac{4}{5} \right)
\]