Cho hình vuông OABC có cạnh bằng 3a . Gọi N là trung điểm AB, G là trọng tâm tam giác ABC. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau

Để trả lời các khẳng định trên, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một.

**Bước 1: Tọa độ các điểm trong hình vuông OABC**
- Ta đặt O(0, 0), A(3a, 0), B(3a, 3a), C(0, 3a).
- N là trung điểm của AB nên N = ((3a + 3a)/2, (0 + 3a)/2) = (3a, 1.5a).
- Trọng tâm G của tam giác ABC được tính toán dựa vào công thức G = ((Ax + Bx + Cx)/3, (Ay + By + Cy)/3).

Tọa độ G sẽ là:
- G = ((3a + 3a + 0)/3, (0 + 3a + 3a)/3) = (2a, 2a).

**Bước 2: Xét các khẳng định**

### a) \( (\mathbf{GA}, \mathbf{CG}) = 45^\circ \)
- Tìm vectơ GA và CG:
- GA = A - G = (3a - 2a, 0 - 2a) = (a, -2a).
- CG = G - C = (2a - 0, 2a - 3a) = (2a, -a).

- Tính độ dài của hai vectơ:
- ||GA|| = \(\sqrt{a^2 + (-2a)^2} = \sqrt{a^2 + 4a^2} = \sqrt{5a^2} = a\sqrt{5}\).
- ||CG|| = \(\sqrt{(2a)^2 + (-a)^2} = \sqrt{4a^2 + a^2} = \sqrt{5a^2} = a\sqrt{5}\).

- Tính tích vô hướng:
\[
GA \cdot CG = (a)(2a) + (-2a)(-a) = 2a^2 + 2a^2 = 4a^2.
\]
- Áp dụng công thức cosin:
\[
GA \cdot CG = ||GA|| \cdot ||CG|| \cdot \cos(45^{\circ}) \implies 4a^2 = (a\sqrt{5})(a\sqrt{5}) \cdot \cos(45^{\circ}) = 5a^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \implies 4 = \frac{5}{\sqrt{2}}.
\]
Điều này không đúng. Khẳng định **a** là **sai**.

### b) \( \mathbf{OA} + \mathbf{BC} + \mathbf{AB} + \mathbf{CD} = \mathbf{0} \)

- Tính toán các vectơ:
- OA = (3a, 0)
- AB = (0, 3a)
- BC = (-3a, 0)
- CD = (0, -3a)
- Cộng các vectơ:
\[
OA + AB + BC + CD = (3a, 0) + (0, 3a) + (-3a, 0) + (0, -3a) = (0, 0).
\]
Khẳng định **b** là **đúng**.

### c) \( \mathbf{OA} \times \mathbf{BO} = 9\sqrt{2} a^2 \)

- Tính toán:
- OA = (3a, 0)
- BO = (0 - 3a, 0 - 0) = (-3a, -3a).
- Tính tích có hướng của OA và BO:
\[
OA \times BO = 3a \cdot (-3a) - 0 \cdot (-3a) = -9a^2.
\]
Tích có hướng mang dấu, vì vậy khẳng định c là **sai**.

### d) \( \mathbf{OA} \times \mathbf{BC} = 12a^2 \)

- Tính toán:
- OA = (3a, 0)
- BC = (0 - 3a, 3a - 3a) = (-3a, 0).
- Tính tích có hướng của OA và BC:
\[
OA \times BC = 3a \cdot 0 - 0 \cdot (-3a) = 0.
\]
Khẳng định d là **sai**.

**Kết luận:**
- a: Sai
- b: Đúng
- c: Sai
- d: Sai