Cho tam giác ABC. Bên ngoài của tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS

Để chứng minh các đẳng thức trong bài toán này, chúng ta sẽ dùng tính chất của hình bình hành và các vectơ.

**Chứng minh:**

a) **\( \overrightarrow{RJ} = \overrightarrow{RA} + \overrightarrow{AJ} \)**

- Trong hình bình hành \( ABIJ \), ta có:
\[
\overrightarrow{RJ} = \overrightarrow{RA} + \overrightarrow{AJ}
\]
- Đây là định nghĩa của vectơ trong hình bình hành, vì \( AJ \) và \( RA \) là hai cạnh liền kề của hình bình hành.

b) **\( \overrightarrow{IQ} = \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{QB} \)**

- Tương tự, trong hình bình hành \( BCPQ \):
\[
\overrightarrow{IQ} = \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{QB}
\]

c) **\( \overrightarrow{PS} = \overrightarrow{PC} + \overrightarrow{SC} \)**

- Trong hình bình hành \( CARS \):
\[
\overrightarrow{PS} = \overrightarrow{PC} + \overrightarrow{SC}
\]

d) **\( \overrightarrow{RJ} + \overrightarrow{IQ} + \overrightarrow{PS} = 0 \)**

- Xét ba hình bình hành. Từ các phần a), b), và c), ta có:
\[
\overrightarrow{RJ} + \overrightarrow{IQ} + \overrightarrow{PS} = (\overrightarrow{RA} + \overrightarrow{AJ}) + (\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{QB}) + (\overrightarrow{PC} + \overrightarrow{SC}) = 0
\]
- Bởi vì ba vectơ \( \overrightarrow{RA} \), \( \overrightarrow{IB} \), và \( \overrightarrow{PC} \) kết hợp lại tạo thành một vòng tròn khép kín.

Vậy tất cả các đẳng thức đã được chứng minh.