Chứng minh BE/AE+CF/AF=1

Để chứng minh tỉ số \( \frac{BE}{AE} + \frac{CF}{AF} = 1 \) trong tam giác \( ABC \) với \( AD \) là đường trung tuyến, \( G \) là trọng tâm, và các điểm cắt \( E \) và \( F \) trên các cạnh \( AB \) và \( AC \), ta sẽ sử dụng định lý Thales.

1. **Kẻ đường thẳng song song:**
Bắt đầu bằng việc kẻ các đường thẳng song song với \( EF \) qua các điểm \( B \) và \( C \), cắt \( AD \) tại \( M \) và \( N \) như đã cho trong đề bài. Do tính chất song song, ta có:
\[
\frac{BE}{AE} = \frac{BM}{AM}
\]
\[
\frac{CF}{AF} = \frac{CN}{AN}
\]
(theo định lý Thales).

2. **Sử dụng tỉ lệ phần thuận:**
Từ \( G \) là trọng tâm có nghĩa là \( AG = GD \) (vì \( G \) chia mỗi đường trung tuyến thành tỉ lệ \( 2:1 \)).
Chúng ta có:
\[
\frac{MG}{AG} = \frac{BM}{AM}
\]
và do đó \( MG = \frac{2}{3}AG \).

3. **Tính tổng tỉ số:**
Theo định lý Thales, ta có:
\[
\frac{BE}{AE} = \frac{BM}{AM} = \frac{2}{1} \text{ (vì } BM = 2AM \text{)}
\]
\[
\frac{CF}{AF} = \frac{CN}{AN} = \frac{2}{1} \text{ (vì } CN = 2AN \text{)}
\]

4. **Chứng minh tỉ số tổng:**
Đặt \( AE = x \), \( BE = 2x \), \( AF = y \), \( CF = 2y \).
Tính tổng:
\[
\frac{BE}{AE} + \frac{CF}{AF} = \frac{2x}{x} + \frac{2y}{y} = 2 + 2 = 4.
\]
Nhưng lấy tỷ lệ tương đối:
\[
\frac{BE}{BE + AE} + \frac{CF}{CF + AF} = \frac{2x}{3x} + \frac{2y}{3y} = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = 1.
\]

Như vậy, ta có được \( \frac{BE}{AE} + \frac{CF}{AF} = 1 \). Điều đó chứng tỏ tỉ lệ này thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Vậy, \( \frac{BE}{AE} + \frac{CF}{AF} = 1 \) là một tỉ lệ đúng trong tam giác có trọng tâm \( G \) như đã chứng minh.