Để chứng minh hai phần a) và b) của bài toán, ta sẽ sử dụng định lý về các đoạn thẳng song song trong tam giác.

### a) Chứng minh \( EF \parallel MN \)

1. **Gọi G là giao điểm của BM và CN.**
2. **Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AC và AB.**
3. **Ta có các đoạn:**
- \( GM = GN \) vì M và N đều là trung điểm của AC và AB.
- \( E \) là trung điểm của \( GB \) và \( F \) là trung điểm của \( GC \) nên ta có:
- \( GE = \frac{1}{2} GB \)
- \( GF = \frac{1}{2} GC \)

4. **Sử dụng định lý trung bình, ta có:**
- \( EF \) là đoạn nối giữa hai điểm trung điểm của hai đoạn thẳng \( GB \) và \( GC \).
- Theo định lý trung bình, nếu \( A \) và \( B \) là hai điểm, thì đoạn nối giữa hai điểm trung điểm của \( AC \) và \( AB \) sẽ song song với đoạn thẳng nối giữa hai đỉnh còn lại (M và N).

5. **Do đó, suy ra:**
\[
EF \parallel MN
\]

### b) Chứng minh \( NE \parallel MF \)

1. **Tương tự, từ phần a) đã chứng minh, ta cũng có:**
- \( GE = \frac{1}{2} GB \)
- \( GF = \frac{1}{2} GC \)

2. **Xét tam giác \( GBC \):**
- \( NE \) là đoạn nối từ điểm N đến trung điểm E của GB.
- \( MF \) là đoạn nối từ điểm M đến trung điểm F của GC.

3. **Áp dụng định lý về các đường trung tuyến:**
- Trong tam giác \( GBC \), \( N \) và \( M \) là trung điểm của \( AB \) và \( AC \).
- Do đó, theo định lý, ta có \( NE \parallel MF \).

4. **Kết luận:**
\[
NE \parallel MF
\]

Vậy hai yêu cầu đã được chứng minh.