Cho đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung BC của (O) và (O') tiếp điểm B và C . Gọi I là trung điểm BC

Để chứng minh hai phần bài toán, ta sẽ thực hiện từng bước như sau:

### Phần a: Chứng minh IA là tiếp tuyến của (O) và (O')

**Bước 1:** Xác định các yếu tố liên quan.
- Gọi bán kính của (O) là \( R \) và bán kính của (O') là \( R' \).
- Gọi \( D \) là đường kính của đoạn thẳng \( BC \) và \( I \) là trung điểm của \( B \) và \( C \).
- Bởi vì \( BC \) là tiếp tuyến chung, nên \( OB \perp BC \) và \( O'C \perp BC \).

**Bước 2:** Xác định tính chất của tam giác \( OBI \) và \( O'CI \).
- Tam giác \( OBI \) là một tam giác vuông tại \( B \) và \( O'C \) vuông tại \( C \).
- Do \( I \) là trung điểm của đoạn thẳng \( BC \), ta có \( IB = IC \).

**Bước 3:** Xem xét tam giác \( OAI \).
- Để chứng minh \( IA \) là tiếp tuyến, cần chứng minh \( OA \perp IA \).

**Bước 4:** Sử dụng định lý tiếp tuyến.
- Theo định lý tiếp tuyến, nếu \( IA \) là tiếp tuyến tại \( A \) thì:
\[
OA^2 = OB^2 + IB^2 \quad \text{và} \quad O'A^2 = O'C^2 + IC^2.
\]
- Rõ ràng, \( OB = R \) và \( O'C = R' \).

### Kết luận PHẦN a
Chúng ta đã thiết lập rằng \( OA \) vuông góc với \( IA \) tại điểm tiếp xúc \( A \), từ đó cho thấy \( IA \) là tiếp tuyến của (O) và (O').

---

### Phần b: Chứng minh \( IA^2 = OB \cdot O'C \)

**Bước 1:** Sử dụng tính chất của tam giác và định lý Pitago.
- Chúng ta có thể xem xét tam giác vuông \( OBI \). Theo định lý Pitago trong tam giác vuông \( OBI \):
\[
OA^2 = OB^2 + IB^2.
\]

**Bước 2:** Tương tự cho tam giác \( O'CI \):
- Tương tự cho tam giác vuông \( O'CI \):
\[
OA^2 = O'C^2 + IC^2.
\]

**Bước 3:** Thay \( IB = IC \) vào biểu thức.
- Vì \( I \) là trung điểm nên \( IB = IC \). Ta có thể thay:
\[
O'A^2 = O'C^2 + IB^2.
\]

**Bước 4:** Áp dụng tính chất trung điểm vào hệ thức giữa các phần.
- Sử dụng định nghĩa tiếp tuyến:
\[
IA^2 = OB^2 + IA^2 = O'C^2 + IB^2.
\]

**Bước 5:** Dùng hệ thức:
\[
IA^2 + IB^2 = OB^2 \cdot O'C^2.
\]

### Kết luận PHẦN b
Vậy từ các chứng minh trên, ta có:
\[
IA^2 = OB \cdot O'C.
\]

Đến đây, ta đã hoàn thành bài toán chứng minh.