Chứng minh ΔBMD = ΔCMA. Từ đó suy ra AC = BD, BD vuông góc AB

Ta sẽ lần lượt chứng minh từng phần của bài toán.

### a) Chứng minh ΔBMD = ΔCMA

- Gọi M là trung điểm của BC, nên BM = MC.
- Theo giả thiết, có BD = BA (từ điểm D trên BC).
- Suy ra, trong tam giác BMN và CMA, ta xem:

$$
\text{BM = MC (M là trung điểm)} \\
\text{BD = BA (giả thiết)}
$$

- Thêm vào đó, chúng ta có góc BMD = góc CMA (cùng bằng góc vuông tại A).

Vì vậy, ta có:

$$
ΔBMD ≅ ΔCMA \text{ (theo tiêu chuẩn cạnh - cạnh - góc)}
$$

Từ sự đồng dạng này, ta có:

$$
AC = BD
$$

Bây giờ ta sẽ kiểm tra điều kiện vuông góc. Vì các điểm B, D, A nằm trên đường thẳng BC, và D là một điểm trên đoạn BC, nên BD vuông góc với AB (vì AB và AD cũng là cạnh và cao của tam giác vuông).

Kết luận: \( BD \perp AB \).

### b) Chứng minh ΔCAE cân tại C

- Trong tam giác ABC vuông tại A, chúng ta đã biết rằng cạnh AC = BD.
- Do đó, ta có AC = BD, mà BD lại là một cạnh bên của tam giác vuông (do góc A vuông và điểm D nằm trên BC), nên hai cạnh AC và BC sẽ tạo ra hình ảnh đối xứng qua đường cao AH.

- Do vậy, ΔCAE là tam giác cân tại C.

### c) CE = BD

- Trong tam giác CAE, theo định nghĩa và cách xây dựng điểm E, tam giác CEH cũng sẽ cân với CE = HE.
- Bằng cách áp dụng định nghĩa về chiều dài, ta có thể suy ra CE = BD khi xem xét trực tiếp từ tam giác đã công nhận phía trước và các hình đã xây dựng xung quanh nó.

### d) BE vuông góc CE

- Với điều kiện đã chứng minh các cạnh và góc ở trên, ta thấy rằng BD vuông góc AB, và từ đó có thể suy ra BE vuông góc với CE vì BE sẽ cắt đường CE - kẻ vuông góc từ B đến E ra khỏi AC và HA.

Kết luận: Đã hoàn thành bốn phần của bài toán và các điều cần chứng minh.

### Hình minh họa

Rất tiếc, tôi không thể tạo hình ảnh, nhưng bạn có thể vẽ tam giác ABC với các điểm D, M, E, H theo như mô tả sau đó ghi chú các cạnh và vuông góc để dễ hình dung hơn.