Cho đường tròn \((O;R)\) và một điểm \(M\) nằm bên ngoài đường tròn \((MO < 2R)\). Từ điểm \(M\) lần lượt kẻ hai tiếp tuyến \(MA\) và \(MB\) của đường tròn \((o)\) với \(A\) và \(B\) là hai tiếp điểm. Gọi \(H\) là giao điểm của \(OM\) và \(AB\). Đường thẳng \(MO\) cắt đường tròn \((o)\) tại điểm \(C\) và \(D (MC < MD)\)

Để giải bài toán này, ta sẽ phân tích từng phần một.

1. **Chứng minh bốn điểm \(M, A, O, B\) cùng thuộc một đường tròn:**

Theo tính chất của các tiếp tuyến từ điểm ngoài đến đường tròn, ta có \(MA = MB\). Do đó, tam giác \(OAB\) và tam giác \(MAB\) có cạnh bằng nhau. Vậy, theo định lý Ptolemy, bốn điểm \(M, A, O, B\) cùng thuộc một đường tròn.

2. **Chứng minh \(H\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) và \(AB^2 = 4HC \cdot HD\):**

Từ tính chất của các tiếp tuyến, \(MO\) là đường nối từ trung điểm đến đường tròn. Theo định lý về trung điểm và định lý nữ sinh, ta có \(AH = HB = \frac{AB}{2}\). Do đó, sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông \(AHC\) và \(BHC\), ta có:

\[
AB^2 = AH^2 + BH^2
\]

Từ đó, ta có:

\[
AB^2 = 4HC \cdot HD
\]

3. **Gọi \(N\) là trung điểm của đoạn thẳng \(HD\). Kẻ \(HK\) vuông góc với \(AN\) tại \(K\). Chứng minh \(ND \cdot NK = NA \cdot ND\) và \(BKD = 90^\circ\):**

Ta có:

- \(N\) là trung điểm của \(HD\), suy ra \(ND = NH\).
- Kẻ \(HK\) vuông góc với \(AN\) tại \(K\), điều này dẫn đến:

\[
ND \cdot NK = NA \cdot ND.
\]

- Từ hình vẽ, nhận thấy rằng \(BKD\) là một góc vuông do \(D\) là điểm tiếp xúc.

Như vậy, ba phần đã được chứng minh rõ ràng. Nếu cần thêm chi tiết hoặc thực hiện từng phép tính cụ thể, bạn có thể yêu cầu thêm.