Để tính diện tích tam giác \(ABC\), ta sẽ sử dụng thông tin cho trước về các đoạn thẳng và diện tích tam giác \(BMN\).

1. **Gọi các đoạn**:
- \(AN = x\), do đó \(AB = 3 \times AN = 3x\).
- \(BM = y\), do đó \(BC = 4 \times BM = 4y\).

2. **Diện tích tam giác \(BMN\)**:
- Diện tích tam giác \(BMN\) được cho là \(S_{BMN} = 24\) cm².

3. **Tính tỉ lệ diện tích**:
- Diện tích tam giác \(ABC\) có thể được tính qua diện tích tam giác \(BMN\) và tỉ lệ giữa các chiều cao.
- Tỉ lệ chiều cao từ \(A\) đến \(BC\) và chiều cao từ \(B\) đến \(MN\) là đồng nhất với tỉ lệ \(AB\) so với \(AN\) và \(BC\) so với \(BM\).

4. **Tính tỉ lệ**:
- Tỉ lệ đường cao \(h_A / h_B = AB / AN = 3/1\).
- Tỉ lệ chiều cao \(h_C / h_B = BC / BM = 4/1\).
- Tỉ lệ độ dài \(h_C\) và \(h_B\) tương ứng với tỉ lệ chiều dài.

5. **Tính diện tích**:
- Diện tích tam giác \(ABC\) là:
\[
S_{ABC} = S_{BMN} \cdot \left(\frac{AB}{AN} \cdot \frac{BC}{BM}\right) = S_{BMN} \cdot \left(3 \cdot 4\right) = S_{BMN} \cdot 12
\]
\[
S_{ABC} = 24 \cdot 12 = 288 \text{ cm}^2.
\]

Vậy \(S_{ABC} = 288 \text{ cm}^2\).