Để chứng minh điều này, chúng ta sẽ chứng minh cả hai chiều của đẳng thức:

**Nếu \( a + 4b \equiv 0 \pmod{13} \) thì \( 10a + b \equiv 0 \pmod{13} \) và ngược lại.**

### Chiều 1: Giả sử \( a + 4b \equiv 0 \pmod{13} \)

Tức là, tồn tại một số nguyên \( k \) sao cho:
\[
a + 4b = 13k.
\]

Chúng ta cần chứng minh rằng \( 10a + b \equiv 0 \pmod{13} \):

Từ phương trình \( a + 4b = 13k \), chúng ta có:
\[
a = 13k - 4b.
\]
Thay \( a \) vào biểu thức \( 10a + b \):
\[
10a + b = 10(13k - 4b) + b = 130k - 40b + b = 130k - 39b.
\]

Ta có thể viết lại như sau:
\[
10a + b = 130k - 39b = 13(10k - 3b).
\]
Vì \( 13(10k - 3b) \equiv 0 \pmod{13} \), suy ra:
\[
10a + b \equiv 0 \pmod{13}.
\]

### Chiều 2: Giả sử \( 10a + b \equiv 0 \pmod{13} \)

Tức là, tồn tại một số nguyên \( m \) sao cho:
\[
10a + b = 13m.
\]
Chúng ta cần chứng minh rằng \( a + 4b \equiv 0 \pmod{13} \):

Từ phương trình \( 10a + b = 13m \), chúng ta có:
\[
b = 13m - 10a.
\]
Thay \( b \) vào biểu thức \( a + 4b \):
\[
a + 4b = a + 4(13m - 10a) = a + 52m - 40a = -39a + 52m.
\]

Ta có thể viết lại như sau:
\[
a + 4b = 52m - 39a = 13(4m - 3a).
\]
Vì \( 13(4m - 3a) \equiv 0 \pmod{13} \), suy ra:
\[
a + 4b \equiv 0 \pmod{13}.
\]

### Kết luận

Chúng ta đã chứng minh được rằng:
\[
a + 4b \equiv 0 \pmod{13} \quad \text{nếu và chỉ nếu} \quad 10a + b \equiv 0 \pmod{13}.
\]
Do đó, đẳng thức đã được chứng minh.