Để tìm số dư của \( A = 1 + 3 + 3^2 + \ldots + 3^{100} \) khi chia cho 13 và 40, ta thực hiện các bước sau:

### 1. Tính tổng \( A \)

Tổng này là một cấp số nhân với:
- \( a = 1 \) (số hạng đầu)
- \( q = 3 \) (công bội)
- Số hạng cuối là \( 3^{100} \)

Công thức tổng của cấp số nhân là:

\[
S_n = a \frac{q^{n} - 1}{q - 1}
\]

Với \( n = 101 \):
\[
A = 1 \cdot \frac{3^{101} - 1}{3 - 1} = \frac{3^{101} - 1}{2}
\]

### 2. Tính số dư khi chia cho 13

Trước tiên, ta tính \( 3^{101} \mod 13 \) bằng Định lý Fermat:

\[
3^{12} \equiv 1 \mod 13 \quad (vì \, 12 = 13 - 1)
\]

Do đó:
\[
3^{101} = 3^{12 \cdot 8 + 5} \equiv (3^{12})^8 \cdot 3^5 \equiv 1^8 \cdot 3^5 \equiv 3^5 \mod 13
\]

Tính \( 3^5 \mod 13 \):
\[
3^2 = 9 \\
3^3 = 27 \equiv 1 \mod 13 \\
3^4 = 3 \cdot 3^3 \equiv 3 \mod 13 \\
3^5 = 3 \cdot 3^4 \equiv 9 \mod 13
\]

Vậy:
\[
3^{101} \equiv 9 \mod 13
\]

Vì vậy:
\[
A = \frac{3^{101} - 1}{2} \equiv \frac{9 - 1}{2} = \frac{8}{2} \equiv 4 \mod 13
\]

### 3. Tính số dư khi chia cho 40

Chúng ta cần tính \( 3^{101} \mod 40 \). Đầu tiên, tái hiện các lũy thừa:
\[
3^1 = 3 \\
3^2 = 9 \\
3^3 = 27 \\
3^4 = 81 \equiv 1 \mod 40
\]

Vì vậy:
\[
3^{100} = (3^4)^{25} \equiv 1^{25} \equiv 1 \mod 40
\]
Và:
\[
3^{101} \equiv 3^{100} \cdot 3^1 \equiv 1 \cdot 3 \equiv 3 \mod 40
\]

Vậy:
\[
A = \frac{3^{101} - 1}{2} \equiv \frac{3 - 1}{2} = \frac{2}{2} \equiv 1 \mod 40
\]

### Kết luận

- Số dư khi chia \( A \) cho 13 là \( \boxed{4} \).
- Số dư khi chia \( A \) cho 40 là \( \boxed{1} \).