Chứng tỏ rằng: Giá trị của biểu thức \( A = 5^5 + 5^5 + 5^3 + ... + 5^n \) là bội của 30

Để chứng minh rằng giá trị của biểu thức

\[
A = 5^5 + 5^4 + 5^3 + \ldots + 5^n
\]

là bội của 30, trước hết, chúng ta sẽ biểu diễn \(A\) dưới dạng một cấp số nhân.

Chúng ta có thể viết lại như sau:

\[
A = 5^5 + 5^4 + 5^3 + 5^2 + 5^1 + 5^0 - 5^n
\]

Không quên rằng \(n\) là một số nguyên không nhỏ hơn 0, ta chỉ xét với các số mũ khác nhau.

### 1. Định nghĩa lại biểu thức tổng

Nếu \( n \geq 0 \):

\[
A = 5^5 + 5^4 + 5^3 + 5^2 + 5^1 + 5^0 = 5^0 \cdot \frac{5^{n+1} - 1}{5 - 1}
\]

### 2. Tổng và tính giá trị

Chúng ta sẽ có:

\[
A = \frac{5^{n+1} - 5^5}{5 - 1} = \frac{5^{n+1} - 5^5}{4}
\]

### 3. Chứng minh A chia hết cho 30

Để chứng minh \(A\) chia hết cho 30, chúng ta cần phải kiểm tra A chia hết cho 2, 3 và 5:

- **Kiểm tra chia hết cho 5**:
Mỗi số hạng \(5^k\) với \(k \geq 1\) đều chia hết cho 5.

- **Kiểm tra chia hết cho 3**:
Hãy xét \(5^{n+1} \mod 3\):
\[
5 \equiv 2 \mod 3 \implies 5^{n+1} \equiv 2^{n+1} \mod 3
\]
Khi \(n\) là chẵn, \(2^{n+1} \equiv 2 \mod 3\).
Khi \(n\) là lẻ, \(2^{n+1} \equiv 1 \mod 3\).

Do đó, \(5^{n+1} - 5^5\) sẽ chia hết cho 3 vì \(5^5 \equiv 2 \mod 3\).

- **Kiểm tra chia hết cho 2**:
Biểu thức \(5^4, 5^3, 5^2, ...\) đều là các số lẻ, do đó:

\[
\frac{5^{n+1} - 5^5}{4}
\]

sẽ giản ước với 2.

### 4. Kết luận

Như vậy, do A đã kiểm tra chia hết cho 2, 3, và 5, nên \(A\) chia hết cho 30.

Từ đó, ta kết luận rằng:

\[
A = 5^5 + 5^4 + 5^3 + \ldots + 5^n \text{ là bội của 30.}
\]

Chứng minh hoàn tất.