Tìm hai số nguyên dương a, b biết:

Chúng ta lần lượt giải từng phần bài toán một.

### a) Tìm hai số nguyên dương a, b biết:
- \( a + b = 48 \)
- \( \text{ƯCLN}(a, b) = 6 \)

Gọi \( a = 6m \) và \( b = 6n \), trong đó \( \text{ƯCLN}(m, n) = 1 \). Ta có:
\[ 6m + 6n = 48 \]
\[ m + n = 8 \]
Các cặp (m,n) nguyên dương có tổng bằng 8 là:
- \( (1, 7) \)
- \( (2, 6) \)
- \( (3, 5) \)
- \( (4, 4) \)

Chúng ta tính các cặp (a, b):
- \( (6 \cdot 1, 6 \cdot 7) = (6, 42) \)
- \( (6 \cdot 2, 6 \cdot 6) = (12, 36) \)
- \( (6 \cdot 3, 6 \cdot 5) = (18, 30) \)
- \( (6 \cdot 4, 6 \cdot 4) = (24, 24) \)

Vậy các cặp (a, b) là:
- (6, 42)
- (12, 36)
- (18, 30)
- (24, 24)

### b) Tìm hai số nguyên dương a, b biết:
- \( ab = 216 \)
- \( \text{ƯCLN}(a, b) = 6 \)

Gọi \( a = 6m \), \( b = 6n \) với \( m \) và \( n \) nguyên dương. Ta có:
\[ 6m \cdot 6n = 216 \]
\[ 36mn = 216 \]
\[ mn = 6 \]

Các cặp (m, n) thỏa mãn:
- \( (1, 6) \)
- \( (2, 3) \)
- \( (3, 2) \)
- \( (6, 1) \)

Chúng ta tính các cặp (a, b):
- \( (6 \cdot 1, 6 \cdot 6) = (6, 36) \)
- \( (6 \cdot 2, 6 \cdot 3) = (12, 18) \)
- \( (6 \cdot 3, 6 \cdot 2) = (18, 12) \)
- \( (6 \cdot 6, 6 \cdot 1) = (36, 6) \)

Vậy các cặp (a, b) là:
- (6, 36)
- (12, 18)

### c) Tìm hai số nguyên dương a, b biết:
- \( \text{BCNN}(a, b) = 240 \)
- \( \text{ƯCLN}(a, b) = 16 \)

Ta có:
\[ a = 16m, b = 16n \]
Và:
\[ \text{BCNN}(16m, 16n) = 16 \cdot \text{BCNN}(m, n) \]
Do đó:
\[ 16 \cdot \text{BCNN}(m, n) = 240 \]
\[ \text{BCNN}(m, n) = 15 \]

Ta có:
\[ m \cdot n = \frac{15 \cdot \text{ƯCLN}(m, n)}{1} \]

Các cặp (m, n) thỏa mãn \( \text{BCNN}(m, n) = 15 \) là:
- \( (1, 15) \)
- \( (3, 5) \)
- \( (5, 3) \)
- \( (15, 1) \)

Tính các cặp (a, b):
- \( (16 \cdot 1, 16 \cdot 15) = (16, 240) \)
- \( (16 \cdot 3, 16 \cdot 5) = (48, 80) \)
- \( (16 \cdot 5, 16 \cdot 3) = (80, 48) \)
- \( (16 \cdot 15, 16 \cdot 1) = (240, 16) \)

Vậy cặp (a, b) là:
- (16, 240)
- (48, 80)

### d) Tìm hai số nguyên dương a, b biết:
- \( ab = 180 \)
- \( \text{BCNN}(a, b) = 60 \)

Gọi \( a = 60m \), \( b = 60n \). Do đó:
\[ ab = 180 \]
\[ 60m \cdot 60n = 180 \]
\[ 3600mn = 180 \]
\[ mn = \frac{1}{20} \]
Vậy \( m \) và \( n \) không có giá trị nguyên dương.

### e) Tìm hai số nguyên dương a, b biết:
- \( a + b = 42 \)
- \( \text{BCNN}(a, b) = 72 \)

Ta có:
Gọi \( a = 72m \), \( b = 72n \).
Ta biết:
\[ BCNN(a, b) = 72 \implies m + n = \frac{42}{72} = \frac{7}{12}. \]

Tìm giá trị thỏa mãn thì cũng không phù hợp với điều kiện nguyên dương.

Tập hợp các số nguyên dương thỏa mãn (a, b) là:
- (6, 42), (12, 36), (18, 30), (24, 24) cho câu a.
- (6, 36), (12, 180) cho câu b.
- (16, 240), (48, 80) cho câu c.

Còn phần d và e không tìm ra được cặp nào nguyên dương.