Để tìm số nguyên \( x \) thỏa mãn các điều kiện đã cho, ta sẽ phân tích từng điều kiện một.

### Điều kiện a:
\(-6\) chia hết cho \(x + 1\).
Điều này có nghĩa là \(x + 1\) là một ước của \(-6\). Các ước của \(-6\) là:
\[
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6
\]
Do đó, ta có các giá trị của \(x + 1\):
\[
x + 1 = -6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6
\]
Từ đó, ta tìm ra các giá trị của \(x\):
\[
x = -7, -4, -3, -2, 0, 1, 2, 5
\]

### Điều kiện b:
\(x + 3\) chia hết cho \(x - 1\).
Điều này có nghĩa là tồn tại một số nguyên \(k\) sao cho:
\[
x + 3 = k(x - 1)
\]
Rút gọn phương trình ta sẽ được:
\[
x + 3 = kx - k \implies x - kx = -3 - k \implies x(1 - k) = -3 - k
\]
Nếu \(1 - k \neq 0\), ta có:
\[
x = \frac{-3 - k}{1 - k}
\]
Ta cần kiểm tra các giá trị \(x\) đã tìm được từ điều kiện a để xem chúng có thỏa mãn điều kiện b hay không.

### Kiểm tra các giá trị của x:
1. \(x = -7\):
\[
x + 3 = -7 + 3 = -4, \quad x - 1 = -7 - 1 = -8 \quad \Rightarrow \quad -4 \text{ không chia hết cho } -8.
\]

2. \(x = -4\):
\[
x + 3 = -4 + 3 = -1, \quad x - 1 = -4 - 1 = -5 \quad \Rightarrow \quad -1 \text{ không chia hết cho } -5.
\]

3. \(x = -3\):
\[
x + 3 = -3 + 3 = 0, \quad x - 1 = -3 - 1 = -4 \quad \Rightarrow \quad 0 \text{ chia hết cho } -4.
\]

4. \(x = -2\):
\[
x + 3 = -2 + 3 = 1, \quad x - 1 = -2 - 1 = -3 \quad \Rightarrow \quad 1 \text{ không chia hết cho } -3.
\]

5. \(x = 0\):
\[
x + 3 = 0 + 3 = 3, \quad x - 1 = 0 - 1 = -1 \quad \Rightarrow \quad 3 \text{ chia hết cho } -1.
\]

6. \(x = 1\):
\[
x + 3 = 1 + 3 = 4, \quad x - 1 = 1 - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad 4 \text{ không chia hết cho } 0.
\]

7. \(x = 2\):
\[
x + 3 = 2 + 3 = 5, \quad x - 1 = 2 - 1 = 1 \quad \Rightarrow \quad 5 \text{ chia hết cho } 1.
\]

8. \(x = 5\):
\[
x + 3 = 5 + 3 = 8, \quad x - 1 = 5 - 1 = 4 \quad \Rightarrow \quad 8 \text{ chia hết cho } 4.
\]

### Kết luận:
Các giá trị hợp lệ của \(x\) thỏa mãn cả hai điều kiện là:
\[
x = -3, 0, 2, 5.
\]