Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d và song song với AB

Để viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng \(d\) và song song với đoạn thẳng \(AB\), bạn cần thực hiện các bước sau:

1. **Xác định hướng của đường thẳng \(d\):**
Đường thẳng \(d\) có phương trình parametric:
\[
\frac{x - 3}{3} = \frac{y - 1}{-2} = \frac{z - 3}{1} = t
\]
Từ đây, vector chỉ phương của \(d\) sẽ là \(\vec{v_d} = (3; -2; 1)\).

2. **Tính vector chỉ phương của đoạn thẳng \(AB\):**
Điểm \(A(3; -3; 5)\) và điểm \(B(4; -4; 6)\) cho ta vector chỉ phương:
\[
\vec{AB} = B - A = (4 - 3; -4 + 3; 6 - 5) = (1; -1; 1)
\]

3. **Tìm một vector pháp tuyến của mặt phẳng (nằm song song với \(d\) và \(AB\)):**
Vector pháp tuyến của mặt phẳng sẽ là tích chéo của hai vector \(\vec{v_d}\) và \(\vec{AB}\):
\[
\vec{n} = \vec{v_d} \times \vec{AB} = \begin{vmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
3 & -2 & 1 \\
1 & -1 & 1
\end{vmatrix}
= \hat{i}((-2) \cdot 1 - 1 \cdot (-1)) - \hat{j}(3 \cdot 1 - 1 \cdot 1) + \hat{k}(3 \cdot (-1) - (-2) \cdot 1)
\]
\[
= \hat{i}(-2 + 1) - \hat{j}(3 - 1) + \hat{k}(-3 + 2) = \hat{i}(-1) - \hat{j}(2) + \hat{k}(-1) = (-1; -2; -1)
\]

4. **Viết phương trình mặt phẳng:**
Phương trình tổng quát của mặt phẳng thông qua một điểm \(A(x_0, y_0, z_0)\) và vector pháp tuyến \(\vec{n}(a, b, c)\) là:
\[
a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0
\]
Với điểm \(A(3; -3; 5)\) và \(\vec{n} = (-1; -2; -1)\):
\[
-1(x - 3) - 2(y + 3) - 1(z - 5) = 0
\]

Giải phương trình này:
\[
-x + 3 - 2y - 6 - z + 5 = 0 \implies -x - 2y - z + 2 = 0 \implies x + 2y + z = 2
\]

5. **Kiểm tra các phương án đã cho:**
Ta có phương trình mặt phẳng tương đương với các tham số của các lựa chọn:
- A. \( (P): x + 2y + z + 5 = 0 \) không đúng.
- B. \( (P): x - 2y + z - 1 = 0 \) không đúng.
- C. \( (P): x + 2y + z - 5 = 0 \) không đúng.
- D. \( (P): x - 2y + z - 5 = 0 \) không đúng.

Phương trình đúng là \(x + 2y + z = 2\), nhưng không có trong các lựa chọn.

Vậy bạn cần xác minh lại các phương án đề bài đưa ra để so sánh đúng phương trình mặt phẳng vừa tìm được.