Cho lăng trụ \(OABO'O'A'B'\) có đáy là tam giác vuông cân \(O\), mặt bên \((OAA'O')\) vuông với đáy \((AB)\). Biết \(OA = 2; OB = 3; OO' = 4\) và \(OO'\) tạo với mặt phẳng đáy góc \(30^\circ\). Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) với \(O\) là gốc tọa độ, tia \(OA, OB\) lần lượt trùng tia \(Ox, Oy\). Biết tọa độ của \(B'(\alpha; b; c)\). Tính \(S = b + c\)

Để giải bài toán biến đổi lăng trụ \(OABO'O'A'B'\), chúng ta bắt đầu từ các thông tin đã cho.

1. **Xác định tọa độ các điểm:**
- \(O(0, 0, 0)\) (gốc tọa độ).
- \(A(2, 0, 0)\) (theo hướng \(Ox\)).
- \(B(0, 3, 0)\) (theo hướng \(Oy\)).
- Thấy rằng đáy của lăng trụ là tam giác vuông cân tại \(O\).

2. **Xác định tọa độ điểm \(O'\):**
- Vì \(OO' = 4\) và tạo với mặt phẳng đáy góc \(30^\circ\), chúng ta có thể tính tọa độ của \(O'\).
- Gọi độ cao của \(O' \) lên mặt phẳng là \(z\) và khoảng cách ngang từ \(O\) là \(h\). Ta có:
\[
\tan(30^\circ) = \frac{h}{z} \Rightarrow h = z \cdot \tan(30^\circ) = \frac{z}{\sqrt{3}}.
\]
- Theo định luật Pythagore:
\[
h^2 + z^2 = 4^2 \Rightarrow \left( \frac{z}{\sqrt{3}} \right)^2 + z^2 = 16.
\]
- Đặt \(h = \frac{z}{\sqrt{3}}\):
\[
\frac{z^2}{3} + z^2 = 16 \Rightarrow \frac{4z^2}{3} = 16 \Rightarrow z^2 = 12 \Rightarrow z = 2\sqrt{3}.
\]
- Vậy \(z = 2\sqrt{3}\) và \(h = 2\).

Do đó, tọa độ điểm \(O'\) là:
\[
O'\left( 0, 0, 2\sqrt{3} \right).
\]

3. **Xác định tọa độ điểm \(A'\) và \(B'\):**
- Như đã biết, các mặt bên của lăng trụ là vuông góc với mặt đáy. Do đó,
\[
A'(2, 0, 2\sqrt{3}) \quad \text{và} \quad B'(0, 3, 2\sqrt{3}).
\]

4. **Tính tọa độ của \(B'\):**
- Tọa độ của \(B'\) là \((\alpha, b, c) = (0, 3, 2\sqrt{3})\).
- Từ đó, ta suy ra \(b = 3\) và \(c = 2\sqrt{3}\).

5. **Tính \(S = b + c\):**
\[
S = b + c = 3 + 2\sqrt{3}.
\]

Vậy, kết quả cuối cùng là:
\[
\boxed{3 + 2\sqrt{3}}.
\]