Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = \(-\frac{(10+2x)^{2}+7}{1-(2x+10)^{2}}\)

Để tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A = -\frac{(10+2x)^{2}+7}{1-(2x+10)^{2}} \), trước hết, chúng ta sẽ phân tích kỹ công thức và tìm điều kiện xác định của biểu thức.

1. **Điều kiện xác định**:
- Mẫu số \( 1 - (2x + 10)^2 \) phải khác 0, tức là:
\[
1 - (2x + 10)^2 \neq 0 \implies (2x + 10)^2 \neq 1
\]
Điều này dẫn đến hai trường hợp:
\[
2x + 10 \neq 1 \quad \text{và} \quad 2x + 10 \neq -1
\]
Giải hai bất phương trình trên ta có:
\[
2x \neq -9 \implies x \neq -\frac{9}{2}
\]
\[
2x \neq -11 \implies x \neq -\frac{11}{2}
\]

2. **Phân tích biểu thức**:
- Biểu thức A có thể viết lại như sau:
\[
A = -\frac{(10 + 2x)^2 + 7}{1 - (2x + 10)^2}
\]
Nhận thấy mẫu số là số dương khi \( |2x + 10| < 1 \) (tức là \( -11 < 2x < -9 \)) và sẽ là số âm khi \( |2x + 10| > 1 \).

3. **Tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất**:
- Phân tích hai trường hợp dựa trên dấu của mẫu số. Nếu mẫu số dương, A sẽ là âm và ngược lại.
- Khi A tiệm cận giá trị ở biên, tại ranh giới của điều kiện mẫu số, ta có thể tính A trong các điểm này và xem xét giới hạn.

4. **Tính biên giới**:
- Khi \( 2x + 10 \to -9 \) (tức là \( x \to -\frac{19}{2} \)), tính giới hạn.
- Khi \( 2x + 10 \to -11 \) (tức là \( x \to -\frac{21}{2} \)), tính giới hạn.

Từ đó, đi đến việc tính ra các giá trị cụ thể và xem xét nghiệm các giá trị âm và dương, từ đó xác định giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của A.