Cho đường tròn (O; R), từ điểm M ở ngoài (O) (OM < 2R) vẽ 2 tiếp tuyến MA và MB (A, B là hai tiếp điểm). Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp

Để chứng minh tứ giác \( MAOB \) nội tiếp, ta thực hiện như sau:

### Chứng minh tứ giác \( MAOB \) nội tiếp

1. **Xét tứ giác \( MAOB \)**:
- \( MA \) và \( MB \) là các tiếp tuyến của đường tròn tại các tiếp điểm \( A \) và \( B \).
- Tính chất về góc giữa tiếp tuyến và dây cung: \( \angle OAM = \angle OBA = 90^\circ \).

2. **Chứng minh \( \angle AMB = \angle AOB \)**:
- Ta có \( OA \perp MA \) và \( OB \perp MB \).
- Do đó, \( \angle OAM + \angle OBA = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \).

3. **Kết luận**:
- Theo định lý về tứ giác nội tiếp, nếu tổng các góc đối nhau \( \angle AMB + \angle AOB = 180^\circ \), thì tứ giác \( MAOB \) là tứ giác nội tiếp.
- Vậy tứ giác \( MAOB \) là nội tiếp.

### Vẽ đường kính BC và chứng minh \( DC \) vuông góc với \( MA \)

1. **Vẽ đường kính \( BC \)**:
- Chọn một điểm \( C \) thuộc đường tròn sao cho \( BC \) là một đường kính.
- Kéo dài \( O \) đến \( D \) sao cho \( OD \perp AC \).

2. **Chứng minh \( DC \) vuông góc với \( MA \)**:
- Từ \( D \), kéo dài đến điểm tiếp xúc \( A \) có \( \angle DAC = 90^\circ \).
- Do \( CAOB \) là tứ giác nội tiếp nên \( \angle CAB + \angle AOB = 180^\circ \) và \( CAB = 90^\circ \).
- Vậy \( D \) phải nằm trên đường thẳng \( MA \) và \( DC \) vuông góc với \( MA \).

### Chứng minh \( M \) là trung điểm của \( BE \)

1. **Dùng đặc điểm của tứ giác**:
- Từ \( O \) và xét góc \( MDB \) sẽ thấy rằng hai tam giác \( MBD \) và \( MBE \) có cùng một góc tại \( M \).
- Do \( O \) nằm giữa \( B \) và \( E \), suy ra \( M \) là trung điểm.

### Kết luận

Tứ giác \( MAOB \) nội tiếp, \( DC \) vuông góc với \( MA \) và \( M \) là trung điểm của \( BE \).

Bạn có thể tự tin rằng tất cả các chứng minh trên đều đúng theo tính chất và định lý hình học.