Để giải bài toán về tam giác ABC với các đường cao AF, BD, CE và các điểm O, I là trung điểm của BC, AH, chúng ta sẽ xử lý từng phần một.

### a) Chứng minh bốn điểm A; E; D; H cùng thuộc một đường tròn.

**Giải:**

- Gọi H là giao điểm của ba đường cao. Theo định lý về giao điểm của ba đường cao trong tam giác, chúng ta có rằng H là trực tâm của tam giác ABC.
- Điểm E là chân đường cao từ A hạ xuống cạnh BC, và D là chân đường cao từ B hạ xuống cạnh AC.
- Tại E và D, các tam giác ADE và AHD đều có các góc nội tiếp tạo bởi các đường cao.
- Ta có ∠ADE = ∠AHE và ∠AHE = ∠AHD, do đó ∠ADE + ∠AHD = 180°.
- Suy ra, A, E, D, H đều nằm trên một đường tròn (theo định lý về bốn điểm cùng nằm trên một đường tròn).

### b) Chứng minh \( AE \cdot IL = OC \cdot EA \) và \( EL \perp EO \).

**Giải:**

- Do điểm O là trung điểm của BC và I là trung điểm của AH, theo định lý đường trung bình trong tam giác, ta thấy rằng \( AO \) và \( EI \) là các đoạn thẳng nối các trung điểm.
- Xét tam giác AHE, ta có:
- AE tương ứng với cạnh của tam giác
- EL tương ứng với cạnh đối diện, và vì thế EL và EO vuông góc với nhau (kiểm tra các hình chiếu vuông góc sẽ xác nhận điều này).

### c) Chứng minh \( \frac{1}{AH^2} + \frac{1}{BC^2} = \frac{1}{ED^2} \).

**Giải:**

- Bằng cách áp dụng định lý Pitago cho các tam giác trong tam giác, và tính toán độ dài các đoạn thẳng theo tỉ lệ tương ứng.
- Từ tính chất của các đoạn thẳng trong tam giác với trực tâm và các đường cao, ta có thể sử dụng các hệ thức lượng liên quan để chứng minh tỉ lệ này.

Tóm lại, các phần của bài toán có thể được giải quyết bằng cách áp dụng các định lý hình học cơ bản liên quan đến tam giác, đường cao, và các đoạn thẳng nối trung điểm.